Soient
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l'équation de la surface du second ordre; X, Y, Z les coordonnées d'un point quelconque M; $, v^, ^ et ç', V, ^' les coordonnées d'un lîouple quelconque de sommets opposés de Thexaèdre ayant pour cenire le point M.
En introduisant des quantités auxiliaires X, jjl, v définies | ar les équations
r>"-i-^r' rt'-L.ir' Sy'l 7^t'
^D établira facilement les six relations
(3) ;-h5'= jjiZ-vY, T,H-V = vX-XZ, ; -f- Ç' = a Y - (iX.
^' Les équations (2), qui établissent une relation si simple entre deux sommets opposés de l'hexaèdre, ont déjà été données, sous une forme un peu différente, dans un beau Mémoire de Joacliimslahl («).
V) De œquationibus quai il et sexli i:radus tfitœ in ihcoria Uneariiin rt superficierum secundi ordinis occurrunl {Journal de Crette, t. O:'.).
Des équations (3) on déduit les relations
Entre la première et les équations (i) et (2) on peut éliminer ^, 7/, C ainsi que A, |jl, v, et l'on obtient Téquation suivante de la surface S :
De la seconde résulte la proposition suivante :
Étant donné un hexaèdre quelconque appartenant à une sur/ace du second ordre, et ayant pour centre le point M, le plan mené par le centre O de cette surface perpendiculairement au rayon OM passe par les milieux des dix diamètres de l'hexaèdre,
5. Étant donné un couple de points conjugués (Ç, 7;, Ç'^ 7^') de la surface S, les équations (3), en y considérant X, Y, Z comme des coordonnées courantes, représentent la droite A associée aux deux points conjugués.
D*où les propositions suivantes :
La droite A associée à un couple de points conjugués (P, P) de la surface S est située dans le plan mené par le centre de la surface du second ordre perpendiculairement à la droite qui joint ce centre au milieu du segment PP'.
Toutes les droites A sont doublement tangentes à la surface % lieu des centres de courbure de la surface du second ordre,
6. La surface polaire réciproque B étant du quatrième ordre, il en résulte que, par un point quelconque M de l'espace, on peut mener vingt-huit droites doublement tangentes à 0; ces vingt-huit droites se composent des trois groupes de droites suivantes :
1" Les six normales menées du point M à la surface;
•a'' Les six droites A se croisant en ce point, et qui sont les
NORMALES ABAISSiES SUR UNE SURFACE DU SECOND ORDRE. 867
associées des dix couples de sommets opposés de Thexaèdre a^^ani pour centre le point M;
3^ Douze autres tangentes doubles situées sur un cône du troisième ordre et formant un groupe de Steiner.
7. Les surfaces réglées, formées par les normales que Ton peut élever aux différents points d'une conique située sur une surface du second ordre, constituent un groupe de surfaces remarquables, étudiées d'abord par M. Chastes et comprises comme cas particulier dans la famille des quadrispinales ; il importe de distinguer parmi elles celles dont la base est située dans un plan langent à la surface 2; on voit, d'après ce qui précède, que ses génératrices se rencontrent trois à trois en un même point d'une droite fixe.
