DROITES DOUBLEMENT TANGENTES A UNE SURFACE DU SECOND ORDRE

peut abaisser de chacun des points de A, trois décrivent la cque Ky les trois autres décrivent une autre conique K', et Ton ^sroi t. c:|u'une droite telle que A peut être définie par cette propriété, ci| u ^ le lieu des pieds des normales menées de chacun des points de Ysk 4:1 i^oite à la surface se décompose en deux coniques ( * ).

t vais maintenant établir que toutes ces droites A sont double- K tangentes à la surface lieu des centres de courbure de S.

. Considérons, en général, une surface quelconque S et sa "v^loppée 0; a désignant un point quelconque de O, je représ^»-i t^^rai par A le point correspondant de S, c'est-à-dire celui pour l^cj c^ el une des sections principales a pour centre de courbure A. OUda posé, soient D une droite quelconque et K le lieu des pieds d^^ normales que Ton peut, de chacun des points de D, abaisser ^«-« ■:• la surface. En laissant de côté, pour un instant, le cas où D î»^^K*^ it normale à S. je ferai les remarques suivantes au sujet des P^^> 5 Kilts de rencontre de celle droite et de 0.

^^ii, en un de ces points A, la droite traverse la développée, la <^^^^K-m mhe K ne présente aucune singularité au point correspondant a, ^ ^ ^^ lie est tangente en ce point à Tune des lignes de courbure.

2ï^ i, en un de ces points B, la droite touche la développée, la ^^^"«^-» rbe K présente un point double au point correspondant 6, et '^ ^ tangentes, menées aux deux branches en ce point, diffèrent oralement des tangentes aux lignes de courbure.

n sait enfin que, si la droite était Tune des normales de la sur- - S touchant la développée en C et C, la courbe K présenle- -9 au point correspondant c, un point double dont les deux ^chcs toucheraient les deux lignes de courbure. 6 là résulte une dépendance mutuelle entre les singularités de ^^Onrbc R et les particularités des divers points d'intersection ■ ^ droite D avec la développée : ainsi Ton peut, en particulier, er les propositions suivantes :

complexe des droites tangentes à la développée se coni-

%^^^ ï)cpais que ma première Noie a été écrite, j'ai reconnu que le théorème

^^iis énoncé C5l dû à M. Dcsboves, qui a aussi étudié les droites A dans sa ^^<^He tfiéorie des normales à une surface du second déféré,