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pose de toutes les droites pour lesquelles la courbe K possède un point double.

Si Uon fait abstraction des normales à la surface, la con^ firuence formée par les droites doublement tangentes à la désreloppée se compose de toutes les droites pour lesquelles la courbe K possède deux points doubles,

3. Pour faire rappllcation de ce qui précède à la surface du second ordre S, je remarquerai que la courbe K est alors une biquadralique gauche qui présentera deux points doubles dans deux cas différents.

1° En premier lieu, la courbe K peut se décomposer en deux coniques, et Ton obtient les droites A dont j'ai parlé plus haut.

Par chaque point de l'espace, comme je Tai fait remarquer dans ma précédente Communication, passent dix droites A.

2** Eu second lieu, la courbe K peut se décomposer en une cubique gauche et une génératrice de S.

Si l'on considère le paraboloïde formé par les normales le long d'une de ces génératrices G, toutes les génératrices de ce paraboloïde de même système que G donneront des droites pour lesquelles cette décomposition a lieu, et on les obtiendra toutes en considérant l'ensemble de tous les paraboloïdes normaux le long des diverses génératrices.

La congruence qu'elles forment se compose donc de deux congruences distinctes : Tune composée des génératrices des paraboloïdes normaux le long de toutes les génératrices d'un même système de S; l'autre composée des génératrices des paraboloïdes normaux le long des génératrices de l'autre système.

Par chaque point de l'espace passent six droites appartenant à chacune de ces congruences et situées sur les paraboloïdes normaux le long des douze génératrices qui passent par les pieds des normales que l'on peut abaisser du point donné sur la surface.

i. En résume, on voit que les vingt-huit droites doublement tangentes à la développée, que l'on peut mener par un point M de l'espace, se distribuent en quatre groupes :

r' Les six normales que l'on peut mener de ce point;