SUR QUELQUES APPLICATIONS DE LA QÉOMÉTRIE AU CALCUL INTÉGRAL
est tangente à celle conique, on obtiendra Tinlégrale générale de l'équation (i).
§ V. — Celte intégrale générale peut êlre représentée par un faisceau de coniques ayant qualre points communs; ou, si Ton préfère se représenter le déplacement de la droite mjx par celui de son pôle, par un faisceau de coniques inscrites dans un même quadrilalère. Les deux cas particuliers les plus remarquables sont fournis, d*un côté, par un système de cercles ayant même axe radical et, de l'autre, par un système de coniques homofocales. Dans le cas où la conique B est une ellipse, on peut simplifier Téquation (i); soient, en effet,
j^l yt
Téquation de cette ellipse rapportée à ses axes et /(x^y)^= o
l'équation de la conique A rapportée à ces mêmes axes.
En posant x = a cosX et y = b sinX, et en désignant par L et A
les valeurs de l'amplitude aux points m et [x, la relation (i)
deviendra
dL d\
//(acosL, 6 sin L) //(acosX, 6 sinX)
§ VI. — Examinons en particulier le cas où la conique B se réduit à un cercle. En désignant par a, 6, c, d les points d'inlersection de ce cercle avec la conique A, Ton a
Tz(m) __ ma . mb , me . md •ir([jL) ;jLa.|JL6.{i.c. (xrf
et Téquation différentielle (i) devient
, ^ ds di
/ma . mb . me . md v^[jLa.fjL6.fi.c.(jLé^
La forme qui résulte de cette équation, pour la différentielle de l'intégrale elliptique de première espèce la plus générale, est celle qui se prête le mieux aux considérations de la Géométrie pure. Je reviendrai du reste plus tard sur ce point en traitant de la théorie géométrique de la transformation des intégrales elliptiques.
§ VU. — L'équalîon (a) peul se mellre immédialemenl sous la forme de Téqualion difTérentielle d'Eiiler; fixons la position de chaque point du cercle par sa distance à un point fixe arbitraire et soient L, X, A, B, C, D les valeurs des angles correspondant aux points /?i, jjl, «, 6, c, d; la relation (2) pourra s'écrire ainsi :
dL
v/sinî(L — A)sin^(L — B)sini(L — C)sini(L— D)
dk
"" v/sini(X — A)sin^(X — B)sini(>^ — G)sini(X-D)
ou bien en posant tang-^Z = Xj tang^X = Ç,
dx
v/l,a?— tangjA) (x — lang JB) (a? — langjG) (a:— tangjD)
V/(Ç-tangjA)(Ç-iang{B)({~tangiC)(?-langiD)
§ Vlil. — On peut donner à Téqualion différentielle d'Euler une autre interprétation géométrique et qui mérite d'être signalée ('). On sait qu'une anallagmatique plane peut être considérée comme l'envrloppe d'une série de cercles orthogonaux à un cercle fixe B et dont les centres décrivent une conique A. Je modifierai légèrerement cette définition et présenterai de la façon suivante le mode (le description de la courbe : soit menée à A une tangente réelle extérieure au cercle et la coupant par suite en deux points imaginaires conjugués m et |x. Si Ton mène les quatre droites isotropes (2) passant par ces points, ces droites se rencontreront en deux autres points réels M elM; le lieu de ces points sera Tanallagmatique définie ci-dessus.
Il est évident que les points M el M sont réciproques par rapport au cercle fixe B.
Pour fixer la position d'un point quelconque du plan, je prendrai pour coordonnées les segments interceptés sur un axe fixe entre les intersections de cet axe avec les droites isotropes issues du point donné et un point fixe de cet axe que je prendrai pour origine des coordonnées.
(') Etle a été remarquée pour ta première fois par M. Darboux {Annales de l'École normale i865)
