APPUCATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES A LA GÉOMÉTRIE

Mais, pour les développer utilement, plusieurs problèmes doi- Tent être résolus, et en particulier le suivant : Déterminer les équations mixtes des courbes que Von obtient en égalant à zéro les divers eovariants de F.

Tout d^abord, on aura à considérer les diverses polaires des droites du plan relativement à K, tant à cause de leur simplicité que du rôle principal qu'elles jouent dans cette théorie, puis la hessienne de K.

En désignant respectivement par W = o. Il = o et tîj = o les équations mixtes de la hessienne, de la première et de la seconde polaire de la droite (0 = 0, on obtient la relation suivante

Cette forme remarquable du polj^nome W est susceptible d'un grand nombre d'applications, et même sans qu'il soit nécessaire de déterminer les coefficients de U et de m. En particulier, je citerai les deux propositions suivantes, qui jouent un rôle important dans la théorie des courbes de troisième et de quatrième classe :

I * Si deux courbes de troisième classe K et K', ayant respectivement pour équation mixte

(a,6,c,rf)(X,fi)5 = o et {a\b\c\d')a,iu)^=o,

ofit les mêmes tangentes de rebroussement, le polynôme

ad'—Zbc-\-Zcb'—da'

est identiquement nul.

2** Étant donnée une courbe de quatrième classe, dont ' équation mixte soit

désignons par (A., B, C, D, E, F, G) (a, ^.y le covariant sextique

(') Suivant un usage habituel, étant donnée une fonction quelconque Z de X ^^de |x, et de degré /i, je pose Zi= - -jr^, Z„= — -pr^,

374 GÉOMiTHIE.

rie U, et considérons une courbe quelconque de sixième clt tangent/' aux i-ingt-quatrc tangentes de rebroussement la première courbe. L équation mixte de la courbe de sixième" classe étant

le polynôme Ai»^-f-<)B/'-f-i 5Ce — 20 De/' -h i:jEc^ — (iF6'-|-Ga' est identiquement nuL

2. II est néanmoins nécessaire d%)blenir la valeur des coefEcienls de El; on pourrait les exprimer facilemenU mais par des formnlès dénuées de symétrie, au moyen des dérivées partielles des coefficients de U.

11 est préférable de suivre une autre marcbe. et, à cet égard, je dislinguerai deux cas suivant que la courbe est de classe paire in ou de classe impaire 2/i-hi. Dans le premier cas, on considérera n couples de variables r, IJ, r', 1)', . . . fonctions de n invariants de L et de leurs dérivées partielles; en représentant par A le discriminant de L , et par V, V, V^, ... /i de ses covariants du degré 1 n convenablement choisis, W sera donné par une expression de la forme

A\V = i t Vi n V2 ) -K ( t'\[ -h oi V; » — . . . .

Si la courbe est de classe (n -hi\ ^ s'exprimera également au moyen de n émanants et du produit d'un contrevariant de F par un de ses covariants du de":ré m — i.

Pour éclaircir ce qui précède, je donne ici les résultats pour les courbes de troisième et de quatrième classe :

i" Soient U = o l'équation mixte d'une courbe de troisième classe; A son discriminant et H son hessien. Soit de plus 0 le cajieyen de F (c'est-à-dire le contrevariant de F qui, égalé à zéro, représente la caylejenne de la courbe ). En posant

r = — fr' A — -T- , 9 = «A — - -T- ,

b d^ b djr

on aura

Afl = rUi-^pUj— 2(ueH.

2** Soient L ^^ o Téquation mixte d'une courbe de quatrième