APPLICATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES A LA GÉOMÉTRIE. Z^S

classe, A son discriminant, H son kessien, S son invariant quadratique etT son invariant cubique.

En posant

r = — -7 vA, I) = -j — h mA,

Il dy ' 12 dx

dy dy ' dx "' " ^ dx

on aura

An = rU|4-9U,H- ^(r'Hi-+-p'H,).

3. Le cajlej^en 0 d'une courbe de n'*"* classe se déduit facilement de la proposition suivante, dans l'énoncé de laquelle j'ai conservé toutes les notations précédentes :

^^ résultant de H et du jacobien de \] et deH est to^f"-») AB.

^'^ Rappliquant aux courbes de quatrième classe, on obtient cette relation remarquable

A5e=/>TU(f',i)')-h(7H(r',9'),

^^ /^ et <7 désignent des invariants de U de Tordre 18 et de

*^^^**^ 20, et T rinvariant du troisième ordre.

^*^^ formule de M. Salmon indique que, dans ce cas, la caj-

^^ ^*^ ne a 1 26 points doubles ; l'équation précédente montre qu'ils

se ï^^duisent à 21 points quadruples. Ces points 0 jouissent de la

P^^P^iété que les tangentes, menées de chacun d'eux à la courbe,

leurs points de contact en ligne droite. On peut remarquer

.^* que l'équation U(f', 1)') = o représente la courbe du Irente-

^^me ordre, jouissant de la propriété que, des tangentes menées

^ de ses points à la courbe, trois sont en ligne droite (*).

J En général, si la polaire d'une droite se décompose en un point P et une y*^c résiduelle, le point P est un point \\{n — 2)tuple de la cayleyenne. ., .^ * ci'un point (a:, y) on mène des tangentes à la courbe de quatrième classe K, "^^lion de la tangente menée en ce point à la conique qui le contient, ainsi ^ les quatre points de contact, est

*-^c même équation, si Ton y regarde Ç, t,, ^ comme des paramétres arbitraires,

GKOMKTRIE.

A. L^'ntroduclion des poljnoines F, Q, f', ïf', ... se justifie p^i celle considéralion importanle^ que Ton n'a jamais à Irailer que des invarianls ou covarianls de U; on peut donc (quoique ce soit complètement ficlif) supposer la forme U réduite à sa forme canonique.

Ainsi Ton pourra prendre pour équations mixtes des courbes de Iroisièmc cl de quatrième classe les équations réduites

De même, pour la surface de troisième classe (car tout ce que j'ai

dit dans celle Note s'applique aux surfaces algébriques), on

pourra prendre pour équation mixte de la surface l'équalion très

simple

X'-i- [jl'h- v'-t- GmX{xv = o.

Dans le présent Mémoire, je n'ai exposé que les points principaux de la théorie; dans d'autres Mémoires spéciaux, j'en développerai les conséquences relativement aux courbes de iroisième et de quatrième classe, ainsi que pour les surfaces de troisième classe.

et Xf y, z comme les coordonnées courantes, représente la courbe la plus générale du neuvième ordre, que Ton peut mener par les 53 points singuliers de la courbe.

L'équalion de la courbe la plus générale du huitième ordre, que Too peut mener par les aS points doubles et les ai po nts 0, est

f/S rfS rfS

dx dy dz — o.

çn; ûTT rfT dx dy dz