CHAPITRE PREMIER

ÉQUATION MIXTE DE LA POLAIhB d'UNE DROITE.

1« Dans ce Mémoire, je rapporterai les figures que j^aurai à considérer à un triangle de référence dont les côtés auront respectivement pour équations

a: ^ o, ^ = o et ,3 = o.

Dans le but de simplifier le langage (ce qui ne diminue en rien la généralité des résultats obtenus), je supposerai que la droite 5=0 coïncide avec la droite de Tinfiui, en sorte que je supposerai toujours z égal à l'unité, ainsi que toutes les variables analogues z'^ 2^, Ç\ ... que j'aurai occasion d'introduire ; je les mettrai néanmoins en évidence toutes les fois que cela sera nécessaire pour la clarté ou la simplicité des formules.

Cela posé, ux -^ K^y -\- \vz^= o désignant l'équation d'une droite mobile et F(w, r, «') une forme ternaire, homogène et du degré /ï, si les paramètres w, v et (V sont liés entre eux par la relation

378 OKOMÉTRIE.

la droite enveloppe une courbe de w'*"* classe K, dont lé(|^*" lion (1) est réquation tangenlielle.

Soit (x^y) un point quelconque du plan el ? le coefficict^^

angulaire d'une quelconque des tangentes que l'on peut meneroc ce pointa la courbe K; cette tangente, en désignant parX,Y,fi les coordonnées courantes, a pour équation

ou encore

on en déduit la relation

F{ :i, — X, \y — ixx) = 0,

qui a pour racines les coefficienls angulaires des n tangentes que Ton peut mener du point donné à la courbe. Si l'on pose

(•>) F(;a, —X, \y— \xx)— U(X, ;x),

U est une forme binaire du degré n par rapport aux variables A

et a, dont les coefficients sont des polynômes du degré /? en x

ety; celte forme satisfait d'ailleurs évidemment à Téquation aux

différences partielles

dx ' dy

Je dirai que Téquation U(a, jjl) = o est V équation mixte de la courbe K. J'ai déjà développé quelques-unes des conséquences les plus immédiates que l'on peut tirer de cette notion dans un Mémoire publié dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées (*), el je rappellerai à ce sujet la proposition suivante, dont je ferai un usage continuel :

Soit un nombre quelconque de courbes représentées par les équations mixtes

5/ l\)n considère un invariant quelconque! des formes f^^f^^

(') Mémoire de Géométrie analytique, .!* sério, t. WII, 1872.