APPLICATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES A LA GÉOMÉTRIE

Jti, ..,, V équation I = o représente une courbe dont le degré «se égal au poids de V invariant.

Il est utile ici de remarquer que, si I était un pol^'nome de degré

inférieur au poids derinvariant, relativement aux variables x et r,

on devrait, en rendant le polj^nome homogène, introduire comme

facteur une certaine puissance de c, en sorte que la courbe \ = o

contiendrait un certain nombre de fois la droite de Tinfini.

2. Le problème principal, que Ton doit résoudre pour emplo3'er utilement les équations mixtes dans les questions de Géométrie analytique, est le suivant :

Etant donnée une courbe K ayant pour équation tangen-

tielle F(i/, r, w) = o et pour équation mixte U(X, [jl) = o,

déduire de cette équation mixte, de ses invariants et des con-

trevariants de la forme F, les équations mixtes des courbes

dont les équations s'obtiennent en égalant à zéro les divers

covariants de F.

Et tout d^abord je m'occuperai, tant à cause de leur simplicité qu^à cause de leur importance, des covariants doubles qui rcpr»'sentent les polaires des divers ordres des droites du plan par rapport à K.

3. Dans tout ce qui suit, en désignant par Z une fonction homogène quelconque, du degré /i, des variables À et ;jl, je représenterai,

selon Tusage habituel, par Zi et Z2 les quantités - y- et — -y^^ > et de

* rw rr rr \ • , \ d^'L 1 ^* Z

même par An, Aia, A22 les quantités -ttt» : n y '

I rf*Z

D'une façon analogue, je représenterai par F|, F.j et F3 le

y 1. . ni- 1 il <^r' ï <^^1' ï dV

résuttal que 1 ou obtient en remplaçant dans — -r-^ j-y - -r-

* * ^ n du II dv n dw

les variables 1/, v ci \v par jjl, — a et \y — \xx,

Fn? Fi2) ••• représenteront de même le résultat que Ton

obtient en faisant la même substitution dans 7-^»

n\^n — 1; du^

n{n — i) dudv'

38o GÉOMÉTRIE.

Cela posé, étant donnée une droite ayant pour équation

(o = ux -^ vy -^ wz =zo^

l'équation mixte de sa première polaire est

M F| -4- i' Fj -i- IV Fj = o.

En différenliant successivement par rapport à X, jx, a: et ^ relation (2), on obtient les relations suivantes :

H) U, = -F,-t-^F3, U,= Ft-arF„

^^^ '" n^ dx ~ ni djr''

par suite, en désignant par n(^= o l'équation de la polaire (*) la droite co = o, on a

11(0= aUi — rU|-+- wFj.

La polaire de la droite de Tinfini a évidemment pour équali 1'%=: o; en posant

on a donc

(5) 0^,= aUj— i'U|-+- ton.