Posons

la comparaison des formules (4) et (4') donne immédiatement relations suivantes :

l da db Q de

I da db " ^ û

qui permettent d'exprimer les fonctions a, p, y, ... au moyen

(') Ici, comme dans toute la suite de ce Mémoire, je désigne simplement le nom de polaire de la droite sa première polaire, qui est de la (n — !)»*■• cli

APPLICATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES A LA QKOMKTRIE. 38l

dérivées partielles des coefficients de U; mais, comme je le montrerai dans la suite de ce Mémoire, elles nous seront surtout utiles pour exprimer ces dérivées en fonction des coefficients de U.

0. Soit une courbe K' de classe n! et ayant pour équation mixte V(X, jx)=ro; étant menée une tangente à cette courbe, proposons-nous de trouver le lieu des points M où elle est coupée par sa polaire.

£n désignant par w = o l'équation d'une de ces tangentes, je remarque d'abord qu'en désignant par )/ et jx' les coordonnées courantes, Téquation mixte de sa polaire est, en vertu de Téqua- «'oa (5),

SOQ équation en coordonnées cartésiennes est le discriminant (par

""apport à X' et jx') de l'équation précédente. Le point M, satis-

'âisatit à l'équation w = o, satisfera donc à Téquation A = o,

^désignant le discriminant du polynôme u\]iÇ^^ [x') — i^Ui (X', [x').

L«e ooeffîcient angulaire de la tangente est d'ailleurs = \^\

JV • • • • •

^<f usit.ion du lieu cherché s'obtiendra donc en éliminant \ et ;x

'^tï'o l'équation V(X, jx) = o et l'équation A = o, les variables u

^ ^y ant été préalablement remplacées par ix et — \ dans le poly-

"^ <^\i la proposition suivante :

^^^ORÈME I. — En désignant par U(X, jx) =r o e/ V(X, ix) = o

les ^'

^^ filiations mixtes de deux courbes K et K', on obtiendra

^^ ^^ation du lieu des points où les tangentes à ¥J sont coupe es

,, ^ ^^urs polaires relativement à K, en éliminant X et jx entre

ation V(X, a) z=z o et Inéquation A(X, jx) = o, A désignant

discriminant pris par rapport à V et jx' du polynôme

* est clair que les considérations précédentes s'appliquent éga- ^"^^nt aux polaires des divers ordres relativement à la courbe K ; X^eut donc énoncer cette proposition plus générale :

Théorème II. — En désignant par U(X, |x ) = o et V(X, jx) = o

ZSj oéométrie.

/es équations mixtes des deux courbes K et K.', on obti^^^^^ l'cquation du lieu des points oii les tangentes à K! sontcOi^P^^^ par leurs m^^"^*^^ polaires relativement à K, en éliminant A^^l^ cntrr r équation V(a, |jl) = o et Véquation A(X, jji) = o, iS ^*^^^' gnant le discriminant pris par rapport à )/ et jx' de Vémcf^^^

G. Soit, pour faire une application simple du théorème pr*^^^' dent, une courbe de quatrième classe K*, dont réquation n:» m"3ile est

En considérant la première polaire, on voit que A est le di^ <:^n-

minanldu polynôme («X -f- 6 iJi.))v''-f- 3(6). 4- C[JL))/*}x'-f-..-, <:iiscriminant qui est de la forme pTVj -4- ^^SH, en désignant par ^X-ïlc hessien de U, et par ï et S son invariant cubique et son invar* Â^inl quadratique.

Par suite, l'équation du lieu des points où les tangentes àt. K* rencontrent leurs polaires s'obtient en égalant à zéro le résiil t^^t de U et dc/?TU + 7SH, c'est-à-dire {S^^ -^ i-jT^yS^

On sait d^ailleurs que S^ — 2-ï-=:o est Féquation de Iv* ^^ coordonnées cartésiennes et que S = o est Téqualion de la coi-* ** du quatrième ordre S, qui passe par les vini;;t-qualre poin*- ^ rebroussement de R^ ; de là la proposition suivante :

Théouèmi: III. — Etant donnée une courbe de quatr^^^ classe K*, une quelconque de ses tangentes est coupée pc^^ j jwlaire en six points, dont deux sont confondus au poin ^ ^

contact; les quatre autres points cV intersection décrir^^ ^ lorsque la tangente sr déplace, la courbe de quatrième ordr^^ qui jKisse par les vingt-quatre points de rebroussement de

Réciproquement, si, par un point M de S, on mène les quc^t tangentes à K.*, leurs polaires relativement à cette cou^ passent par M.

7. L'ap[)lication la plus importante du théorème II est relatif