APPLICATION DE LA THKORIE DES FOIIMES BINAIRES A LA GÉOMÉTRIE

au cas de la polaire conique ; A est alors le discrimioanl de

c^A* ^ d/.dii ' dix-

c'est-à-dire le hessien de U; d'où la proposition suivante :

Théorème IV. — En désignant par U(a, (x) = o et par V(a, ul) = o /es équations mixtes de deux courbes K et K', par H(X, [jl) le hessien de U(a, jjl), V équation du lieu des points, ou les tangentes à K' sont coupées par leur conique polaire relativement à K, s'obtient en égalant à zéro le résultant des polynômes H(X, [jl) e/.V(X, jjl).

En particulier, soit M un point du plan ajant pour coordonnées % et •/;; en posant pour abréger, comme je le ferai toujours

par la suite,

X = x— î et Y=7 — r^,

Téquation mixte de ce point est

X Y — |JL X = o ; d où cette conclusion :

^e lieu des points où les diverses droites qui passent par un point (Ç, Tj) sont rencontrées par leurs coniques polaires, rela- ^i^'eifient à la courbe U(X, a) = o, a pour équation

^^ a ainsi l'interprétation géométrique du hessien de la ïoririeU; quanta l'équation U(X, Y) = o, elle représente, comme ^^ le sait, Tensemble des tangentes que l'on peut mener du point v^> "^O à la courbe.

^- Considérons la courbe K ayant pour équation mixte

^\^t p.) =: o ; si une droite se meut tangentiellement à la hessienne

^ cette courbe, sa conique polaire se compose de deux points, ou

^core, si on la considère comme une courbe du second ordre, de

^ ^ï'oite qui joint ces deux points, cette droite étant comptée

^^^^ fois. Le lieu des intersections des tangentes à la hessienne

'^^c leurs coniques polaires est donc une courbe double, la cav-

lejennc de K; la proposition suivante permettra d^obten équation :

Théorème V. — Etant donnée une courbe K ayaai équation mixte U()w, [x) =i o, en désignant par H(X, jx) $ien de U et par W(â, jjl) = o V équation mixte de la ha de K, si Von forme le résultant de H(X, jx) et de W()., résultant est un carré parfait R^ e^ R = o est Véquatio tésienne de la cayleyenne de K.