SUR QUELQUES APPLICATIONS DE LA GKOMKTRIK AU CALCUL INTÉGRAL

Dans ce système, en désignanl par J7, y et x\ y les coordonnées respectives de deux points, par d leur distance et 8 Tangle «jue fait avec l'axe fixe la droite qui les joint, on a évidemment

x — x'= de-^' et y —y' = de^'.

formules où, suivant Tusage habituel, i désigne le symbole J — i, Soient maintenant z ely les coordonnées du point M de Tanallagmalique définie ci-dessus, l'origine des coordonnées étant placée, pour plus de simplicité, au centre du cercle B; a, /3, v, 8 les abscisses des points de rencontre de ce cercle avec la conique A; ces quatre points sont les foyers de l'anallagmatique. Soient a', P', y', 8' les ordonnées de ces mêmes points; leurs valeurs sont, du reste (le cercle et la conique étant supposés réels), imaginairemenl conjuguées des valeurs des abscisses.

La relation (')

ds d(j

y/ma . mb . me . md ^[ia.[ib.ikc.\xd

pourra se mettre sous la forme suivante, où A désigne un angle réel constant, ne dépendant que de la position des foyers sur le cercle,

dx e^' dy e -^'

s/ix^^)Tx-f^)(x^f)(x-^) ~ /(r-«')(r-P')0'-Y')(7-5')

et, d'après ce qui a été dit plus haut, l'intégrale générale de cette équation sera fournie par l'équation des anallagmatiques, ayant pourfoyers les quatre points dont les coordonnées sont a, a'; p, ^' ;

Y, Y et 8, 8'.

§ IX. — On aurait pu, en partant d'une propriété géométrique très simple des anallagmatiques, écrire immédiatement l'équation différentielle précédente. Mais la marche que j'ai suivie, quoique plus longue, a l'avantage de faire voir d'une façon nette comment les propriétés des anallagmatiques relatives aux intégrales elliptiques se rattachent à la théorie de Jacobi. Ces courbes se présentent nécessairement quand on veut étudier la marche de Tinté-

es) Voir ma Coiiiniunicalion, séance du 23 mars.

4o GÉOMÉTRIE.

grale pour des valeurs imaginaires de la variable. Tout le temps que la droite tangente à la conique coupe le cercle en deux points réels, la marche simultanée de ces deux points représente d*une manière précise la marche de l'intégrale. Dès qu'elle devient extérieure au cercle, au lieu des points imaginaires m et [x où elle coupe ce cercle, il faut considérer les points réels de l'anallagmatique M et m qui leur correspondent.

On a d'ailleurs la relation très simple suivante entre les éléments différentiels relatifs au cercle et l'anallagmatique :

\^nui . mh . me . nui ^^Wft. M /* .Mr. M ri

Pour chaque point du plan, outre Tanallagmatique donnant lieu à la relation précédente, il passe une anallagmatique coupant orthogonalement la première et fournissant la relation suivante :

\J ma.mb . me . md yW a . M 6 . M c A\d .

Les considérations précédentes montrent l'importance des courbes anallagmatiques du quatrième ordre dans l'étude de la représentation géométrique des intégrales elliptiques, lorsqu'on y introduit la considération des imaginaires; cette considération, du reste, me semble indispensable si l'on veut approfondir les propriétés des coniques qui se ra|>portent à la théorie des fonctions elliptiques, théorie dans laquelle la considération des fonctions imaginaires joue un rôle capital.

SLK QUELQUES PROPRIÉTÉS

DES

SURFACES ANALLAGMATIQUES

Bulletin de la Société philomatliique; i868.

1. M. Moiilard a le premier étudié d'une façon complète les surfaces anallagmatiques, c'est-à-dire les surfaces du quatrième ordre qui ont pour ligne double V ombilicale (*). Il a montré que ces surfaces pouvaient être définies géométriquement, comme l'enveloppe des sphères dont les centres parcourent une surface du second degré A et qui coupent orlhogonalement une sphère fixe S. Cette sphère peut être désignée sous le nom de sphère directrice de la surface; son centre est évidemment un pôle principal de Tanallagmatique engendrée. Au point de vue géométrique, il est avantageux de modifier un peu la définition précédente et de la présenter ainsi : A la surface du second degré donnée A, on mène UD plan tangent quelconque qui coupe la sphère directrice S suivant un cercle; par ce cercle, on peut faire passer deux cônes isotropes^ dont les sommets sont évidemment deux points réciproques par rapport à la sphère directrice. Ces deux points, lorsque le plan tangent prend toutes les positions possibles sur la surface A, engendrent la surface anallagmatique, enveloppe des sphères ayant leur centre sur la surface A et coupant orthogonalement la sphère directrice.

2. M. Moutard a montré que la surface ainsi défmie pouvait être engendrée de cinq manières différentes au moven de cinq sur-

(') Voir le Bulletin de la Société philomathique, t. IV. Séance du 6 avril 1867.

4t GÉOMÉTRIE.

faces du second ordre A, Â|, A29 A3 et A4, et de cinq sphères directrices correspondant à ces surfaces; que, par suite, la surface analiagmatiquc possédait cinq pôles principaux de transformation.

Je me propose dans cette Note d'exposer de quelle façon sont reliées entre elles les surfaces du second ordre qui peuvent servir à la génération d^ine analiagmatiquc donnée et comment elles se rattachent géométriquement aux focales de celte analiagmatiquc.

Les focales d'une surface sont, comme on le sait, les lignes doubles de la développable isotrope qui lui est circonscrite. M. Chasles a le premier donné cette notion de focale dans son Aperçu historique, etc., et montré d'une façon précise ce qui était le point délicat de la question, la notion qui dans l'espace correspondait à la notion du fo^er dans le plan. Il a développé du reste depuis les idées qu'il avait alors émises, et je renverrai notamment sur ce sujet à une Note Sur les surfaces du second ordre homofocales, insérée aux. Comptes rendus de V Académie des Sciences (11 juin 1860), Noie à laquelle, du reste, j^aurai, dans ce qui suit, plusieurs fois occasion de me rapporter.

Une surface analiagmatiquc étant défmie par une surface du second degré A et une sphère directrice S, appelons C l'anallagmatique sphérique qui résulte de leur intersection; la même surface peut être définie par quatre autres surfaces du second degré A| , A2, A3, A4 et quatre sphères directrices correspondantes S|, Sj, S», S4. Soient C|, C2, C3, C4 les intersections respectives de ces surfaces, on voit immédiatement que les anallagmatiques sphériques Ci, C2, C3, C4 sont les focales de la surface analiagmatiquc donnée.

Ces cinq focales ne sont pas indépendantes entre elles. Car, étant pris l'une d'elles, C, par exemple, si on lui circonscrit une surface développable wo/ro/>e, cette surface développable, outre la courbe primitive C, renfermera d'autres lignes doubles qui seront évidemment aussi des focales de la surface proposée.

Or, ces autres lignes doubles seront précisément les quatre anallagmatiques Ci, C2, C3, C4.

De là résulte immédiatement le théorème suivant, qui mérite peut-être, par sa simplicité, d'être explicitement énoncé. Soient une courbe M résultant de l'intersection de deux surfaces du

SUR QUELQUES PROPRIETES DES SURFACES ANALLAOMATIQUES. ^Z

second ordre P et Q, el une section plane quelconque R de la surface P, la surface développable circonscrite à la fois aux courbes M el R admel, comme lignes doubles, outre la courbe M, quatre autres courbes du quatrième ordre, et chacune de ces courbes est située sur une surface du second ordre passant par la conique R.

3. L'arête de rebroussement de la développable isotrope circonscrite à une surface du second degré jouit d'une propriété curieuse signalée par M. Moutard dans les Nouvelles Annales; elle consiste en ce que la projection de cette arêle sur chacun des plans principaux de la surface est la développée de la focale contenue dans ce plan. Il existe une propriété analogue relativement aux surfaces anallagmatiques. Considérons une sphère directrice quelconque A et soient O son centre et E Tarête de rebroussement de la développable isotrope circonscrite, le cône a^ant pour sommet le point O et pour base la courbe E coupera la sphère correspondante A suivant le lieu des centres de courbures sphériques de la focale située sur cetle sphère.

4. Lorsqu'une surface, telle que la surface anallagmatique considérée, contient V ombilicale y la développable isotrope qui lui est circonscrite se décompose en deux surfaces distinctes. L'une est lenveloppe des plans, pour lesquels le point de contact avec la surface n'est pas sur V ombilicale même ; les lignes doubles de celle surface sont les focales ordinaires, et dans le cas actuel elles se composent des cinq anallagmatiques sphériques dont j'ai parlé ci-dessus.

L'autre est l'enveloppe des plans qui touchent la surface le long derorabilicale [et ses lignes doubles sont les focales singulières, lians le cas actuel, ces focales singulières se composent de trois coniques qui sont les focales ordinaires communes aux cinq surfaces A<, Aj, A3, A4, A 5 qui peuvent servir à la génération de 'anallagmatique.

I^es focales singulières, tout en jouissant des propriétés générales des focales, s'en séparent cependant en certains points; ainsi, lundis que les focales ordinaires se transforment, par la méthode des rayons vecteurs réciproques, en focales ordinaires de la transformée, il n'en est pas de même des focales singulières. Les sur-

faces du syslème triple orlhogonal, découvert par M, Moutard et formé de surfaces anallagmatîques, ont les mêmes focales ordinaires, mais leurs focales singulières varient pour chaque surface.

o. Considérons une surface anallagmatique définie, comme il a été dit au n° 1, au moyen d'une surface du second degré A et d'une splière directrice S.

La développable circonscrite à ces deux surfaces a quatre lignes doubles qui sont des coniques. Soient K| , K3, K3 et K4 ces quatre coniques. D'après un théorème dû à M. Chasies (loc. cit.)^ par chacune de ces coniques on peut faire passer une surface liomofocale à A. Les quatre surfaces du second degré ainsi déterminées seront précisément les surfaces A<, Aj, A3, A4, au moyen desquelles, d'après le théorème de M. Moutard^ on peut engendrer la surface,

Élant prise une de ces surfaces, par exemple la surface A|, qui passe par la conique K|, il sera facile de déterminer la sphère directrice correspondante. En effet, que l'on mène le plan de la conique K<, il coupera la surface A suivant une conique. Si Ton circonscrit à cette dernière conique et à la surface A| une surface développable, celle surface, d'après un théorème de M. Chasies {loc. cit,)^ sera circonscriplible à une sphère, et cette sphère sera précisément la sphère directrice correspondant à la surface A.

6. Divers théorèmes relatifs, soit aux surfaces du second ordre homofocales, soit aux surfaces anailagmatiques, découlent des considérations précédentes. Je me bornerai à énoncer les deux suivants :

Théorème I. — Etant données deux surfaces homofocales du second ordre et un plan fixe H, par une droite D tracée dans ce plan, menons les plans tangents aux deux surfaces. Enjoignant les points de contact appartenant à des surfaces diffé^ rentes, nous obtiendrons quatre droites. Toutes les droites ainsi obtenues, lorsque D se déplace dans le plan H, sont normales à une même surface anallagmatique.

Soient S, T les coniques suivant lesquelles le plan H coupe les deux surfaces homofocales données; construisons une conique

SUR QUELQUES PROPIUÉTÉS DES SURPAGES ANALLAQMATIQUES. 4^

quelconque passant par les quatre points d^lntersection de S e^ de T; si la droite D se meut tangentiellement à cette conique, les droites obtenues par la construction précédente formeront une surface développable, et par conséquent traceront sur Tanallagmatique une de ses lignes de courbure.

Théorème II. — Etant données deux surfaces homofocales A et B et une droite D, menons par cette droite les plans tangents aux deux surfaces, et soient b et b' les points de contact relatifs à la surface B, à l'un des points de contact relatifs à la surface A; les droites ab et aU sont dans un même plan a\?ec la normale au point a et également inclinées sur cette normale.

7. Les considérations que j^ai exposées dans cette Note au sujet des surfaces anallagmatiques s^appliqueut évidemment aux courbes planes anallagmatiques. Je me dispenserai donc d'énoncer les propositions relatives à ces courbes.

SUR LES