U„ U„ II
U„ U„ II, îli I.f
JB
10. Cette forme remarquable de l'équation mixte donne lieu à diverses conséquences importantes que l'on peut en déduire, sans c|ue l'on ait même besoin de déterminer l'expression des coefficients de n et T9.
En particulier, je citerai les deux propositions suivantes, relatives aux courbes de troisième et de quatrième classe :
Théoeème. — En désignant par (a, 6, c, rf) = o ( ' ) Véqua-
(<) Ici, comme je le ferai souvent dans la suilc quand il ny aura lieu de L. - II. aj
tion mixte d'une courbe de troisième classe K et par (a', 6', c', d') =■ o r équation mixte d^une courbe quelconque de même classe ¥J tangente aux neuf tangentes de rebroussement de la première, si l'on forme l'invariant
I = ad:—'\bc-^ Zcb'—da,
ce polynôme est identiquement nul.
Démonstration. — Comme I est un combinant des deux formes (a, 6, c, d) et (a', i', c', rf'), il suffît de démontrer la proposition pour Tune quelconque des courbes du faisceau (K, K'), par exemple pour la hessienne. Supposons (a, b, c, d) réduite à la forme canonique \^-\- [Jl^, on aura simplement I = d' — a\ Or, en
posant
lîr.(a, p,Y) Cl nT=.(A,B),
on déduit du théorème précédent :
X o aX -+- P[i
aX -4- ^jjL fiX -+• YiJi A X -I- B jji
d'où
a' = — ps et ^' = -?î;
par suite
La proposition est donc démontrée.
Théouème. — En désignant par U = («, 6, r, ^/, t* ) = o l'équation mixte d'une courbe de quatrième classe R et par (A, H, C, D, E, F, G) le co^ariant sextique de L , par (a', b\ c\ (/, c\ y, ^') = o l'équation mixte d'une courbe quelconque de sixième classe K' tangente aux vingt-quatre tangentes de rehrousscment de R; si l'on forme l'inxariant l = \g'—6Bf-\-ijCe'—'2oDd'-hi:ilic'--6Vb'-^Ga\ re polynôme est identiquement nuL
Démonstration. — La hessienne étant tangente aux vingt-quatre
craiudre aucune ambiguïté, jo pose, pour abréger,
(a, b, c, dW ji)< = (a, ^, c, rf).
APPLICATION DE LA TIlÉOniE DES FORMES BINAIRES A LA GÉOMÉTRIE. Ô87
tangentes de rebroussement de K, réqualion mixte de K' sera de la forme W(X, jx) + U(X, [x) V(X, (x), V(X, jx) = o étant l'équation mixte d^une conique quelconque.
Si nous supposons U réduite à sa forme canonique
on a simplement
Or le théorème V donne la relation
X* -f- m ja' 2 m X;a aX' -+- 2 ^X |x -♦- v^iS
