U„ II

wUii — t'Un-f-wIIi // Ujj — pUij4-wIIi iiIIs — i^IîiH-io

= co«\V(X, |jl);

d*où la formule suivante, qui permet d^exprimer le poljno W(X, [jl) au moyen des deux premières polaires d'une droite qii conque to = ux -i- vy -h ^vz = o :

en posant

Lit

no,,.

lla,.l

Ho,.,

^Ci>

= roa>H — 12,

ii=U,,Ili,5--!»U„na,,ine^,,-T-U,îIIa,.i

et en désignant par II le hessien de U.

12. J'ai montré (théorème IV) que le résultant de H et de \\^ était égal à B^, H désignant le contrcvariant de la forme primitive r(?/, r, iv) qui, égale à zéro, donne Téquation de la caylejrenne;

APPUCATION DE LA THéORIE DES FORMES BINAIRES A LA GÉOMÉTRIE. 889

on déduit de ce qai précède

le résultant 0* est donc le résultant de H el de ; d'où la pro-

position suivante :

Théorème. — Si l'on /orme le résultant du polynôme H et — û, ce résultant est un carré parfait dont la racine est éffaleàio^^'^-^^e.

Remarque /. — Le premier terme de Û est d'un poids égal à 2, le dernier terme de H d'un poids égal à 2(/i — i) : leur résultant est donc d'un poids égal à ^{n — 2) -j- 6(/i — i) (n — 2), et, en vertu de la proposition fondamentale donnée (1), 6 est du degré

C'est en effet, comme on le sait, le degré de la cayleyenne.

Remarque II. — La proposition précédente donne une infinité de formes pour 6, puisque ^^, r et (v sont arbitraires; on peut, par exemple, remplacer ces quantités par les dérivées partielles d'un contrevariant quelconque ^ de F, et la proposition précédente donnera une expression de^^^""^^©.

Remarque III. — On peut trouver d'aulres expressions de 0 souvent plus faciles à calculer. On a, par exemple, identiquement

iiU = [nco.i(ÂU,î-htxU„)-nco.,(>.Un-i-ixU„)p-H(Xnco,,-«-îxneo.,)^

Le résultant de H et de ÛU, c'est-à-dire {iù^^"^^^^^y, en désignant par A le discriminant de U (*), est donc égal au résultant de H et de

[na,.i(XU„^-ïxU„)-nco.,(XUn-HixU„)p.

D'où cette conséquence :

(*) À est le réciprocant de F; Téqualion A = o représente en coordonnées cartésiennes la courbe K.

H(^) GKOMÉTRIK.