CHAPITRE ni

DKTERMINATION DE LÉQl'ATIOX UIXTE DE LA POLAIRE n'i'NE DROITE.

13. I^s formules (G) données précédemment (4) permet ^ c^nl d'exprimer les coefficients de Téqualion mixte de la polaire d -«^ la droite de Tinfini (et par suite de la polaire d'une droite (\m^ "a ^1conque'^ au moven des dérivées partielles des coefficients de 1-^ ;

mais il est préférable d'introduire les dérivées partielles d'un tain nombre d'in\anants de cette forme.

Jo m\ippuierai sur la proposition suivante :

THroRÎ:>iEVIL — hâtant donné un invariant quelconque ^1 ^*' / i/i-rrur l\ en désignant son poids par i, on a les deux éq^^^ ^'

d\ ndl ^ d\

\ ^dÙ-^'-d-c^'-^dd

d-a"'-'^^db'^^''-''^dc

I ^* .r,dl . d\

..« il. /», r, ...") = o est V équation mixte de K et (a, ,3, v, ...) VtqiuUion mixte de la polaire de la droite iù = o et oii j piw. pour abréger,

dy ' dx

Ihrmonstration. — Des formules (5) et (G) on déduit facil^^^ monl les relations suivantes :

da ,

/i a = (0 —, h n(uo — ta ),

dy

r db , , ,

i /j — I ) 3 — «0 -7- -7- ( « — i){uc — \b ),

dy

'^^^ ' de

dy

du db . o de

dx dx ^ dx

^» > . , a (O-73 -f- M^ — V . 2^ = — ^-Jl, -r- l{UC — vb)... ^

APPLICATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES A LA GÉOMÉTRIE. Sgi

par suite, on a

dl di , . x^'/o fx

w T- = -yr ( — OL-^ uo — va)-*- -r ( — ip -h luc — ^vo) -h. .. dx do de ^ *

dl ^dl ^ dl /, dl dl

— '"db-''^Tc'-^^dd'^''VTb-^^'Tc'^"

f dl ,dl \

ou encore, diaprés les propriétés bien connues des invariants,

dl / dl ^dl ^ dl \ .,

"^dlr^-i'^db-^^^d'c-^^^^dd'^-")-^'''^'

d'où enfln

dl ^dl ^ dl ., dl

do ^ de * dd dx

L*autre formule se démontrerait de la même manière.

i4. Dans Tapplication des formules précédentes, je considérerai deux cas suivant que la courbe K est de classe paire ou de classe impaire.

Dans le premier cas, le nombre des coefficients a, ^, ....

inconnus est pair; considérons - invariants I, F, I", ... de la

Ma

forme U et désignons par f|, t)|, f(', t)(', ... les polynômes formés de la façon indiquée au moyen des dérivées partielles de ces invariants : nous obtiendrons n équations linéaires de la forme (8), qui permettront d'exprimer les coefficients inconnus en fonction des coefficients de U et des polynômes f|, Qi, f «',... .

L'introduction de ces polynômes se trouve justifiée par le fait important que le polynôme Ilb» devient alors un covariant multiple de U, les divers couples de variables étant X, jjl; f,, 1)| ^ ....