Si la courbe est de classe impaire, nous choisirons
invariants qui fourniront (/i — i) relations linéaires entre les inconnues; une dernière relation linéaire peut être obtenue de la façon suivante. La méthode est évidemment générale, mais je ne l'exposerai que pour le cas d*une courbe de cinquième classe.
Soient U = (rt, 6, c, rf, e, y) = o l'équation mixte d'une courbe de cinquième classe et (A, B, C, D) un covariant quelconque du
troisième ordre de U; en désignant, pour tin instant, par (^09 ^09 Yoi ^09 £o) = o Téquation de la polaire de la droite de
rinfîni, posons
a b oLç K
ib 4c 4^0 3B
id ie 4^
en appelant (a, p, y, o, e) = o Téquation mixte de la polaire de la droite co = f/o: -+- i^y + (v:; = o, on déduira de la formule (5)
coV =
ce
SB
Gc
id
d'où Ton conclut que Y est un contrevariant de la forme fondamentale F (*).
En développant cette égalité, on obtiendra une équation linéaire qui, avec les n — i autres précédemment obtenues, permettra d'exprimer les coefficients de lia).
16. Des relations établies plus haul, n° 13, on peut déduire une proposition générale, dont se déduisent un grand nombre de propriétés des courbes algébriques.
Soit I un invariant quelconque de U, en sorte que Ton ait les
relations
du ^ de ' dd dx
d\. , sQ^I / ^ï -r d\
da
db
de
dy
Considérons la courbe K' composée de la polaire de la droite
(' ) I! est bien clair que ce procédé peut être varié de bien des manières et que (si n e*»t > 4) il peut être aussi employé quand n est pair.
Cette équation, ainsi que beaucoup de celles établies dans ce Mémoire, est sus* ccptible de diverses interprétations géométriques; mais leur développement m'écartcrait trop de mon sujet principal.
APPLICATION DE LA THÉORIE DES FORMES BINAIRES A LA OéOMÉTRIE. 3(j'i
ii) = o et d'un point Ç, t»; en posant X = x — Ç et Y =y — r,, réqaation mixte de ce point est
par suite, Tëquation mixte de K' est
ou bien encore
[naY, (n — i)PY — «X, (/i — 2)yY — aaX, . . .] (X, ixV'= o.
En représentant le premier membre de celte équation par (a', 6', {/, . ..), on trouvera, par la valeur de l'invariant,
-. ,dl .,d\ ,d\
J = Y[n«g.(.-i)pg...]-x(4-..pS...), oa encore, en vertu des relations transcrites ci -dessus,
Posons
on aura
et
M ; -+- i^ r, -h 5 î = to'
iiX-+-i>Y = w — to'
Remarquons maintenant que le poids i de Tinvariant 1 est précisément le degré de ce polynôme en x^y^ z\ d'après le ihéorème des fonctions homogènes, on aura donc
l>d\ dl Hl\ .
et, par suite, si le point Ç, r^ est sur la droite w =3 o,
/,dl d\ d\\
<^^> ''\}di'^'^dp-^^Tz)=-^'
Je ferai remarquer que la quantité entre parenthèses dans le
'Sij\ GKOMÉTRIE.
premier membre de celte équation représente, quand on Tégale ^ zéro, la polaire du point (i, r.) relativement à la courbe I = o.
17. Le cas particulier le plus intéressant à considérer est celui 011, K étant de classe paire, on considère Tinvariant quadratique l de L.
En convenant d'appeler faisceaux harmoniques deux faisceaux de n droites, tels que les équations du degré n qui les déterminent aient leur invariant quadratique nul, on peut énoncer la proposition suivante :
Théorème. — tétant donnée une courbe K de classe 2/1, si Von considère la courbe C du degré 2/1, dont V équation s^ obtient en égalant à zéro V im^ariant quadratique de V équation mixte de K et le lieu des points d^où Von voit suivant deux faisceaux harmoniques : i** /a polaire d^une droite quelconque D, prise par rapport à K, et un point M de cette droite; 2" la courbe K, ce lieu se compose de la droite D ellemême et de la courbe du (2/1 — 1) ordre qui est la polaire du point M relativement à C.
