APPLICATION DE LA THEORIE DES FORMES BINAIRES A LA GEOMETRIE

3yr,

Quc l'on peut écrire

sons en outre (voir n° lo)

toe =

^ est un contrcvarîant de la forme F(//, r, u) qui, égalé à zéro, doruficTéquation tangenliclle de K; dans le cas actuel, Téquation €1 = 0 représente, comme il est facile de le voir, la cajleyenne de K.(«).

Le déterminant développé donne l'égalité

aC — •2^B-h7A = we,

^HÎ , jointe aux égalités précédentes, permet d'obtenir a, |3 et y par ies formules

Aa = rtr-+-6i) — 2A1O0,

. A^ = ^r-h CD — 2iB(o0, l ay = cr -h <f 0 — -iC toO,

î"'? quand on réduit U à sa forme canonique a\^ -\- chï? ^ pren- '^^'it la forme très simple suivante :

(ïi')

[ Aa = ar, A^ = — adioSy A Y = rfo.

^^'x désignant, comme je l'ai fait jusqu'ici, parII,^=o l'équa- 'on ^jg \^ polaire de la droite (0 = 0, relativement à la courbe R, ^^ aura

^^^^ Ana,= rUi-i-pUj- itoBll.

*-• tiquation en coordonnées cartésiennes de cette polaire est

aY — 3' = o ;

V ) Voir mon Mémoire de Géomclrie analytique, déjà cite, n*» li.

SijS GÉOMÉTRIE.

en nous servant de ]a forme canonique de la forme U, on trouve immédiatement

A» («Y — p« ) = advf — a«rf*w«e« ; d'où, généralement,

A»(aY — p*) = U(r, p) — a)«Ae«.

19. Considérons maintenant une courbe de quatrième classe K ayant pour équation mixte U = (a, 6, c, rf, e) = o; soient S et T les invariants quadratique et cubique de U; son discriminant A est égal à S' — a^T^, et l'on sait d'ailleurs que A = o est Téqualion de la courbe en coordonnées cartésiennes. Je représenterai, pour abréger, le hessicn H de U par la notation (a\ b\ c', d\ e').

Cela posé, en considérant les invariants S et T, les formules (8) donnent les quatre relations suivantes :

ae -3Srf — Svc - 86 = - i>S -4- *-)? ^ = — Si, — arfn- 3p<; — 'i'{b -h oa = wS — -r ^— = — Sj,

(Poù Ton déduit

Aa = a(i8TT, — S»S,)-f-6(i8TT,— S«S,)

-+-a'(i8TS, — i2ST,)-+-6'(i8TS,— 12ST,),

AJJ = 6(i8TT,— S»Si)-hc(i8TT,— S»S,)

-+-6'(i8TS, — i';tST,)-hc'(i8TS,— 12ST,),

Ay ^ c(i8TT,— S»S,) -h ^(i8TT,— S«S,)

-Hc'(i8TSi— x2STi}-her(i8TS,— 12ST, ,

Ao = </(i8TT,— S»S,) 4- rf(i8TT,— S«S,)

c^'(i8TSi — i2ST,)4-e'(i8TS,-i2ST,).

Posons enfin, pour abréger,

r = 18TT,— S^S, = ~ ^ - pA,

12 dy

p = 18TT,— S«S, = - — ^- + MA,

12 dx