SINGULARITÉS DES COURBES DE QUATRIÈME CLASSE
Journal de Mathématiques pures et appliquées; 1875.
1. l ne courbe de qualrième classe K possède vingt-huit poinls doubles 0 cl vingl-qualre points de rebroussemcnt p. Il existe en outre dans son plan vingt et une droites P telles que la première polaire de chacune déciles, relativement à K, se décompose en un point/? et une conique résiduelle; aux vingt et une droites P correspondront donc vingt et un points remarquables pj que nous aurons à considérer en même temps que les poinls singuliers.
Je rap[)cllerai à ce sujet que les soixante-treize poinls 8, p et/; sont les poinls communs aux trois courbes
2 b = - , ) 1 -7— =0, 2 S , il -r- =0, 2 S -, 3 T -r- = «» ,
tij!' dx dy dy dz dz
où S et T désignent respectivement Tinvariant quadratique el Tinvariant cubique de la forme U = («, 6, c', rf, e) (/, jx) qui, égalée à zéro, donne l'équation mixte de la courbe K (*).
2. Etant données deu\ équations à une inconnue, de degré /;/, F 3^ 0 et F'= o déterminant par leurs racines deux systèmes de |)oinls situés sur uue même droite (o^/ deux faisceaux de droites passant par un même point), je dirai que ces systèmes {ou ces faisceaux) sont harmoniques, si Tinvariant quadratique des deux
(') Voir {Comptes rendus, i(i mars 187'^) la Noie accompagnant la prêscnlalion de mon Mémoire sur rajtplication de la théorie des formes binaires à la Géométrie plane.
SL'R LES SINOULARITKS DES COURBES DE QUATRIEME CLASSE. 3<j(|
formes F et F' est nul; celte notion est, on le voit, une simple extension de la notion bien connue relative ù deux systèmes de deux points (ou à deux faisceaux de deux droites). Cela posé,
et
étant les équations mixtes de deux courbes de /i''*'"*-* classe K" et K''*, il est clair que le lieu des points d'où l'on voit ces courbes suivant deux faisceaux harmoniques s'obtient en éf^alont à zéro r invariant quadratique des deux formes (i) et ('2); ce lieu est donc une courbe du /i'^*™* déparé ayant pour équation
(3) (i) = al' -- nbK' -¥■ "^^ " ^^ ch' ^ . . .-h la = iu
et je la désignerai sous le nom de courbe harmonique des deux courbes K« et K'«.
A ce sujet, je ferai remarquer que^ si n est impair, I ne change pas quand on remplace respectivement a par a-^\a', b par b -{-\b\ ... ; si donc C" est la courbe harmonique de K" et de K'", ce sera également la courbe harmonique de deux quelconques des courbes du faisceau déterminé par R" et R'", et je dirai que c'est la courbe harmonique de ce faisceau*
