Cela posé, nous pouvons énoncer la proposition suivante

Théorème I. — Etant donnée une courbe da quatrième classe K, si Von considère les diJJ'é rentes droites que l'on peut mener par un point ^l^ leurs premières polaires, relativement à Y^^ forment un faisceau de courbes de troisième classe dont la courhe harmonique est la droite polaire du point M, njlalivement à la courbe du quatrième ordre 5 qui passe par les vingt-quatre points de rebroussement de K.

Démonstration. — Soient, comme ci-dessus,

4oo

OéoXÉTRIK.

Téqualion mixte de la courbe K; S et T rinvariant quadratlc| ^^ rinvariant cubique de U. On sait que la courbe Si a poar ^^ hon S = o.

Pour simplifier les calculs, je supposerai la forme U rédu sa forme canonique, en sorte que Ton aura simplement

H = /iiX*-+-(i — 3m»)XV*-^'«:Jt*»

S = i-f-3/n* et T = /Il — m».

En appelant Ç, r., !^ les coordonnées du point M, désignons par

w = iix -h i'^ -+- cv = o et cuo = UqX -+- VqJt -+- WqS = o

les équations de deux quelconques des droites qui se croisent point M.

Désignons de plus par A = S^ — 2-T^ le discriminant de forme U, et par (a, ^, y, o), (a^, ^o, y,,, o©) les équations mix des premières polaires des deux droites précédentes relativeme à K; d'après la formule (i3) donnée dans mon Mémoire sur Va^ plication des formes binaires {Journal de Mathématique W^ série, t. I, p. 120), on aura les équations suivantes :

Aa = r H m r ,

3ct)o Axo = fo-^ ;— mï ,

A3 = //io-+- ^(i— 3//i*)9',

Ay = m r -4- — ( I — 3 m* ) r',

Aço = m ro -h T" (i — 3 m' ) r',

3 0) , Ao — OH /'M ,

AOo = Oo"i 'WÇ,

où r, I), r', 1)' ont la même signification que dans le Mémoire précité (|). 119), et fo) Qo représentent les quantités analogues à ( cl I), dans les(|uclles u, (', w ont été remplacés par Ho) i*« et i\\. Cela posé, en désignant par I = o Téquation de la courbe harmonique du faisceau formé par les polaires des droites qui se croisent au point if, on aura

SDR LES SINQULAniTKR DES COURRES DE QUATRIEME CLASSE. /fOl

l AM = (i-f-3m5)(rno— oro)

on a d ''ailleurs

OU dMcrore, si l'on pose, pour abréger,

r9o-ïro= 4" (^S'S»— S 4TT«),

puis

r'(««)Po — wp) — 9'(o)ro— o)or) = A(jiSTo— 3TSo).

t*"^ stjbsliluant ces valeurs dans (4), on obtiendra

A«I= — (3S»So-S*TTo)-+-^(9.STo— 3TSo), l'À <j

^^> réductions faites.

^^ ^wi démontre la proposition énoncée.

^- En particulier, considérons une droite P, telle que sa pre-

"^^èi^e polaire, relativement à K, se décompose en un point p et

*^^ conique. Si l'on prend un point quelconque M de cette

^^"He, le réseau formé par les premières polaires des droites qui

^^ Croisent en M comprend en particulier le point p et la conique

^^siduelle; on en conclut que la courbe harmonique du faisceau

P^sse par le point/?. D'ailleurs cette courbe est la première polaire

^^ Airelativement à S; donc, réciproquement, d'après un théo-

ï^Uie connu, la droite polaire dey?, relativement à S, passe par le

point M, et, comme ce point a été pris arbitrairement sur la

^ï'oiie P, cette droite n'est autre que la polaire de p,