CASSJNIENNES PLANES ET SPHÉRIQUES

Bulletin de la Société philomathique; 1868.

1. On peul considérer une anallagmatique sphërique comme le lieu des points de contact des plans tangents à une conique fixe K et à une sphère. Soit S le cercle suivant lequel le plan de la conique coupe la sphère ; si Ton peut inscrire dans le cercle S un quadrilatère circonscrit à la conique K (et alors, d'après le théorème de Poncelet, on pourra le faire d'une iuGnité de façons) en désignant par a, p, v, 0 les sommets consécutifs d'un tel quadrilatère, les divers points m de Tanallagmatiquc satisferont à une relation de la forme

-îr — COIlSl.

J'ai signalé celle propriété dans une Note insérée au Bulletin de la Société philomathique {mdiV^ 1867).

Les courbes qui jouissent de celte propriété constituent dans Tensemble des anallagmatiques un groupe remarquable et jouissant de propriétés spéciales dignes d'intérêt. Je les désignerai sous le nom de cassinienncs, par analogie avec l'ellipse de Cassini qui peut être regardée comme leur type principal.

2. Je vais donner ici une autre définition de ces courbes, qui, quoique moins simple peut-être en apparence que la précédente, se prête bien mieux aux recherches géométriques.

Soit, en général, tracée sur une sphère une anallagmatique: par celte courbe passent quatre cônes dont les sommets forment un tétraèdre conjugué par rapport à la sphère. Prenons une quel-

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conque des arêtes de ce lélraèdre et l'arête opposée qui est sa polaire par rapport à la sphère, li sera facile d'établir les propositions suivantes. Toute droite qui passe par un point a de Tanallagmatique et qui s'appuie sur les deux arêtes du tétraèdre considérées, coupe la sphère en un second point b qui appartient aussi àranallagmatique. Je dirai que les deux points a et b sont conjugués, et, pour simplifier le langage, j'appellerai simplement corrfe la droite qui joint deux points conjugués. Si l'on désigne par P et Q les points où l'une des arêtes considérées coupe la sphère, il résulte de ce qui précède que deux points conjugués quelconques et les points P et Q sont toujours situés sur un même cercle et partagent ce cercle harmoniquement. Par suite, si l'on appelle 1 le point milieu du segment PQ, il en résulte que le produit des dislances du point I à deux points conjugués quelconques est constant et que les droites qui joignent ce point milieu aux deux points conjugués sont dans le même plan que la droite PQ et également inclinées sur cette droite (*).

3. Comme dans un tétraèdre il existe trois couples d'arêtes opposées, on voit que, pour une anallagmatique donnée, on peut imaginer trois modes de groupement des points.

Or, si la courbe est une cassinienne, on pourra choisir les deux arêlesdu tétraèdre de telle sorte que les points conjugués fournis P^r le mode de groupement correspondant jouissent de la propriété suivante :

Si Ton prend le conjugué harmonique d\ui point quelconque ^ Ici sphère P par rapport à chaque couple de points conjugués (')j cest'à-dire si, sur le cercle passant par le point P et chaque couple de points conjugués, on prend le conjugué har- 'ionique de ce point, le iieu des points ainsi obtenus est un cercle.

Pour abréger, je désignerai simplement ce cercle sous le nom de cercle correspondant au point P.

(') Le point I esl donc pour ranallagmatiquc un des points que M. Moutard * désignés sous le nom de pôles secondaires de transformation. (') Voir Bulletin de la Société philomathique, février 1867.

48 QÉOMÉTRIE.

La propriété précédente est caractéristique et peut servir de défînitioD à la cassinienne.

Considérons une sphère et deux droites quelconques dont chacune soit la polaire réciproque de Tautre par rapport à la sphère. Sur celte sphère on peut tracer une inGnlté de courbes jouissant de la propriété énoncée au n" 2, que toute droite passant par un point de la courbe et s^appujant sur les deux droites Gxes dont je viens de parler rencontre la sphère en un second point de la courbe. Je désignerai les deux points de la courbe situés sur une telle droite sous le nom àe points conjugués. Maintenant, considérons le lieu des points qui sont conjugués harmoniques d*un point R de ia sphère, par rapport aux différents couples de points conjugués d'une courbe quelconque de l'espèce dont je viens de parler. Si ce lieu est un cercle pour une position particulière quelconque du point P, il en sera de même quelle que soit la position de ce point sur la sphère et la courbe considérée sera une cassinienne.

Dans tout ce qui suit, je considérerai exclusivement le mode de groupement qui donne lieu à la proposition énoncée ci-dessus; en sorte que le point conjugué d'un point de la courbe sera parfaitement déterminé. Des deux arêtes du tétraèdre considérées, il yen a toujours une qui coupe la sphère en deux points réels; je désignerai ces deux points par les lettres P et Q.

Ceci posé, on établira facilement les propositions suivantes :

\. Si Von considère une corde quelconque d'une cassinienne y c'est-à-dire la droite qui joint deux points conjugués, sa polaire réciproque par rapport à la sphère, sur laquelle est tracée la cassinienne, rencontrera cette sphère en deux points conjugués de la courbe et sera par conséquent aussi une corde.

De là résulte que la surface engendrée par toutes les cordes, surface qui est du quatrième degré, est à elle-même sa polaire réciproque.

0. La propriété précédente constitue une propriété caractéristique des cassiniennes et Ton peut énoncer la propriété suivante :

Si une anallagmatique est telle qu!une droite passant par deux points de cette courbe ait pour polaire, par rapport à la

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sphère sur laquelle elle est tracéCy une droite rencontrant la courbe en deux points, cette anallagnia tique est une cassinienne dont la droite proposée ainsi que sa polaire sont des cordes; et alors y diaprés le théorème précédent, il y a une infinité de droites qui jouissent de la même propriété,

6. Si A désigne le cercle correspondant à un point R de la sphère, les cercles correspondant aux divers points du cercle A passeront par le point R.

7. Le cercle correspondant à un point de la courbe lui est langent en ce point et coupe la courbe en deux autres points qui sont conjugués.

8. Considérons une corde quelconque d^une cassînienne; par celte corde on peut mener quatre plans tangents à la courbe. Deux des points de contact se trouveront sur la polaire de la corde, les deux autres seront deux points conjugués. Si, par la corde qui joint ces deux derniers points, on mène des plans tangents à la courbe, deux des points de contact seront les points conjugués formant les extrémités de la première corde considérée.

Deux cordes liées ensemble de la façon que je viens d'indiquer seront dites cordes associées.

Leur propriété principale est renfermée dans la proposition suivante :

Toute droite qui touche la sphère sur laquelle est tracée une cassinienne en un point de cette courbe et rencontre une de ses cordes, rencontre aussi la corde qui lui est associée,