L. - IL i

403 QÉOMéTRIE.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème II. — Si la première polaire d'une droite P, r^^^/a-

Uvement à la courbe de quatrième classe K, se décompo^^^^- en

un point p et une conique résiduelle, la droite P est la dw^^^ite

polaire de p^ relativement à la courbe du quatrième ordr^ -S*»

qui passe par les vingt-quatre points de rebroussement dt^ ^'

D'où encore cette conséquence :

Les vingt et une droites P sont les droites polaires relative ment à 5 des vingt et un points p.

La proposition précédente peut se démontrer directement ain^ qu'il suit :

En désignant par (a, p, y, 8) = o Téqualion mixte de la pr mière polaire de la droite w = ux -H t>y -H wz = o, je remarqu^^ ^Z-gi^lJ^^ que, si cette polaire se décompose en une conique et wn point /?^ ^^^ o pour les coordonnées de ce point, on devra avoir a = o, p = o, -^ ^.^p.

Y = o, S = o, la tangente à la polaire étant en ce point entièrement indéterminée.

On a d'ailleurs, pour un tel point (n" 1), r'=o et t)'=o; d'après la formule (i3) déjà citée de mon précédent Mémoire, on aura donc

Il en résulte que r et 1) sont nuls; autrement (a, 6, c, rf, e) serait une puissance exacte, c'est-à-dire que les quatre tangentes menées du point /> à K se confondraient en une seule, ce qui est impossible.

Les coordonnées du point /? satisfont donc aux quatre équations

ou bien

dT ^rr dS dx dx

(O-j \'XU\=^ o,

^dT •2 S -7

3Tf dy

tu— -

Remplaçons, dans les deux dernières relations, A par sa valeur

irp /T*

S' — '2'^T'', puis -7- et -^ par leurs valeurs tirées des deux pre-