X-5 — i-i-î — hZ-7-=o dx dy dz

**» en vertu des relations précédentes,

a X H- fY -+- w Z = o.

proposition est donc démontrée.

^•. Étant données deux courbes de /i'^"*" classe K" et K'", dési-

S'^^^Os par 1 rinvariant quadratique qui, égalé à zéro, donne l'équa-

^^^*^ de la courbe harmonique des courbes données; si le poly-

'^^-^'^c 1 est identiquement nul, K" et K'" jouissent de la propriété

^^t^e vues d^un point quelconque du plan suivant deux faisceaux

^**ïiioniques. Je dirai alors qu'elles forment un couple harmo-

^^9Ae; si, de plus, n est impair, deux quelconques des courbes

^ faisceau (K", K''') formeront un couple harmonique, et je dirai

*^^^ \e faisceau est harmonique.

¥llant donnée une courbe K", dont Téquation mixte est

^^^ peut rechercher s'il est possible de lui adjoindre une autre

^^urbe de même classe K'^', qui constitue avec elle un couple har-

ooique.

En désignant par («', b\ ..., A', [) = o l'équation mixte de K'",

^ *^ faut déterminer les polynômes a', 6', . . ., de telle sorte que l'on

^îl identiquement

I = aV — /i6A'-+-. ..= o.

Nous disposons, à cet effet, des coefficients de

Véquation de K'" ; la courbe représentée par I = o étant de degré /i,

il en résulte que les coefficients inconnus doiv

satisfaire à un Tiombre égal d^équations linéaires sans seco membre; j'appellerai A le déterminant de ce système d*équation

6. Il est important maintenant de distinguer le cas où n estpai

et le cas où n est impair.

Si n est impair, le système d'équations est toujours satisfai

pour

par conséquent on a toujours A = o. De plus, on sait que, si To a une solution qui diffère de celle-là, il y en a une infinité; d'autres termes, comme je l'ai déjà fait observer, les diverses courbes qui constituent avec la courbe donnée un couple harmo — nique forment un faisceau.

On pourra donc supposer que Pxm des coefficients inconnus esP

I » H A . (/l-hl)(/l-4- a) I . , p .

nul, et 1 on aura a trouver ^^ inconnues salisfai —

sant à — équations linéaires sans second membre, c

qui, en général, exige que deux relations entre les coefficien soient satisfaites.

On peut donc énoncer cette proposition :

hUant donnée une courbe de classe impaire, deux condition doivent être satisfaites pour que cette courbe fasse partie d'un réseau harmonique.

On voit facilement, d'après cela, qu'un système de deux points ne peut former un couple harmonique, ce qui, géométriquement, était évident a priori.

Relativement aux courbes de troisième classe, il est très remarquable que les conditions nécessaires soient toujours satisfaites et que toute courbe de troisième classe fasse partie d'un faisceau harmonique. Cela résulte de la proposition suivante, que j'ai démontrée dans le Mémoire sur l'application de la théorie des formes binaires, etc., déjà cité {Journal de Mathématiques, p. io8) :

Une courbe quelconque de troisième classe et sa hessienne À