SUR LES SINGULARITÉS DES COURBES DE QUATRIÈME CLASSE

sont vues d'un point quelconque du plan sunant deux f aisceaux harmoniques.

7. Si la courbe K" est de classe paire, la condition nécessaire et suffisante pour qu^elle fasse partie à\\n couple harmonique est que A = o; et je vais d'abord chercher comment on peut facilement former ce déterminant.

Représentons symboliquement, comme l'ont fait MM. Aronhold etClebsch, par(a£/ H- Ap 4- c«v)^ = o l'équation langentiellede K", en convenant, dans le développement du trinôme, de remplacer le produit fl*6PcY par le coefficient ««py; l'équation mixte de cette coarbe sera

[(i|i — AX-t- c(X^— fX2r)]«= o ou [(c^— 6)X -|-(a — ca7)[i]'»= o.

Semblablement, l'équation mixte d'une seconde courbe K'" sera symboliquement

L'équation symbolique de la courbe harmonique des deux courbes données sera, par suite,

[{cy — 6) (a — ^x) — ( Y^ — P) (« — c^)Y = «»

00, en eflectuant les calculs,

Si Pon suppose que K" et K'" constituent un couple harmo- °'9*ïe, les divers coefficients du développement de ce trinôme <loivent être nuls.

^n aura, par suite, les diverses équations

(^Y — <^P)''=o» (^ï — cp )«-»(« p — ^a) = 0, (ci — aY)'*= o, (col — a^(y*-^a^ — boL) = o,

^^^ sera le déterminant de ces — ^ équations, si l'on y

considère comme inconnues les diverses puissances de a, B et y.

«^ at calculé par ce procédé la valeur de A, relative à la courbe

pnérale de quatrième classe; je transcris ici l'expression de cet

invariant, qui, comme je le ferai voir tout à l'heure, présente

it'i aionÉtniii.

iiijque inlérêt daits l'élude des points de rebroussement de la |:niirbe.

l'our simplîGcr l'écriture, j'ai adopté les ootatîoos de M. Salma (II ig/tcr curves, p. 25i), et pris pour équation de la courbe K 'iji]tiation suivante :

au*+ Ai''H-cii'>+6/f'(v' + 6^w'«'-(-6Au'p*

+ •iû'ja'ii' + ^fciW'K -t- \btv* w -\- ie\w* u -i- ^ctiv* V = o.