III I
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4o8 GÉOMÉTRIE.
8. Une courbe du sixième ordre étant déterminée par vingt-sept points, on ne peut pas, en général, faire passer une telle courbe par les vingt-huit points doubles d^une courbe de quatrième classe K; mais on peut, à cet égard, énoncer le théorème suivant:
Théorème III. — La condition nécessaire et suffisante pour que les vingt-huit points doubles d'une courbe de quatrième classe soient situés sur une courbe du sixième ordre est que ^s V invariant A' soit nuL
Ce théorème résulte immédiatement de la proposition suivante :j^
Si les vingt-huit points doubles d'une courbe de quatrièmes classe K sont situés sur une courbe du sixième ordre y elle faie^ partie d'un couple harmonique; la réciproque est également vraie.
Démonstration, — Soit U = (a, 6, c, rf, e) = o réquation mixte de K; supposons que cette courbe constitue un couple harmonique avec la courbe K' dont Téquation mixte est
(a\ 6', c', cT, e') = o.
En désignant respectivement par S, T, I et J Tinvariant quadratique et l'invariant cubique de U, l'invariant quadratique de U el
de U', et l'expression a' -, ^^'ir* ' "' ï^^ démontré [Mémoire
de Géométrie analytique, n" 37 {Journal de Mathématiques,
2^ série, t. XVll)], que la courbe du dixième ordre, représentée
par l'équation
aSJ — 3TI = o,
passait parles vingt-quatre points de rebroussement et les vingthuit points doubles de R. Les deux courbes K et K' constituant un couple harmonique, on a identiquement 1 = o; la courbe du dixième ordre se décompose donc en deux courbes du quatrième et du sixième ordre S = o et J = o. D'ailleurs il ne rencontre K qu'en ses points de rebroussement; les vingt-huit points doubles se trouvent donc sur la courbe du sixième ordre J = o.
Réciproquement, si les vingt-huit poinls doubles sont situés sur une courbe du sixième ordre C dont Téquation soit W = o, je dis que K fait partie d'un couple harmonique. Pour le démontrer,
SUR LES SINGULARITÉS DES COURBES DE QUATRIÈME CLASSE. ^Oij
je m^appuieraî sur la proposition suivante {Mémoire de Géométrie analytique, n® 38) :
Si, par les cinquante-deux points singuliers d^une courbe
de quatrième classe K, on fait passer une courbe quelconque
du dixième ordre, cette courbe rencontre K en seize points
distincts des points singuliers; les tangentes menées à K e/i ces
seize points touchent une courbe de quatrième classe.
Puisque les vingt-huit points o sont une courbe du sixième
ordre C, l'ensemble des courbes S et C délermine une courbe du
dixième ordre passant par les cinquante-deux points singuliers;
S* ne rencontre d'ailleurs K qu'en ses points de rebroussement;
par suite, en vertu du théorème précédent, les tangentes menées
à K. aux points où cette courbe est coupée par C (abstraction faite
des points doubles) forment un polygone Q dans lequel on peut
inscrire une infinité de courbes de quatrième classe.
U'= 0 désignant l'équation mixte d'une quelconque des courbes "^s^riles dans ce polygone, on aura nécessairement
,, 2SJ — 3TI = SW,
d'où
