AUX COURBES ET AUX SURFACES ALGÉBRIQUES

Bulletin de la Société mathématique de France; 1875.

1. Je m^appuierai, dans. tout ce qui suit, sur la proposition suivante :

Théorème I. — Etant donnés un nombre quelconque de courbes K, R', R'', ... et un lieu C défini par la condition qu'il existe une relation, du reste arbitraire, entre les directions d'un certain nombre des tangentes que Von peut mener aux courbes données par un point de ce lieu; appelons Co le lieu que Von obtient en remplaçant, dans la définition de la courbe C, la courbe R par les points de contact des tangentes quon peut lui mener par un point M du plan : cela posé, la droite polaire du point M, relativement à la courbe C, 5e confond avec la droite polaire du même point relativement à la courbe Co (').

Démonstration. — Soient (1) U = (a, 6, c, ...) = o, U'= («', ^', c', ...) = o,

les équations mixtes des courbes R, R', . . ., et

(*) J'emploie ici les nolations de mon Mémoire sur l'application des formes binaires à fa Géométrie {Journ. de Math.. 3' s<^rir. t. I).

SUR LES POLAIRES D'UNE DROITE. 4ll

l'éc|uaiîon cartésienne de la courbe C; cherchons d'abord ce que devient cette équation quand on substitue à la courbe K les points de oontact des tangentes inepées à cette courbe par un point i^y ^) du plan. Soit 0)= ux-^ vy '\-wz^=-o Téquation d'une oi'oit.c quelconque; Féqualion mixte de la première polaire relative nnent à K est

(*) aU,— i»Ui-4-cun = o,

"^== (a, p, y, . . .) = o étant l'équation de la première polaire de >^ droite de Finfinî; si nous éliminons X et u entre les équations v) et (2), nous obtiendrons l'équation cartésienne des tangentes menées à K aux points de rencontre de cette courbe avec la droite donnée; si ensuite, en faisant pour abréger X = Ç — x^ Y = y, — y^ et en considérant Ç et 7^ comme les coordonnées courantes, nous remplaçons respectivement dans Téquation ainsi obtenue £/, i^ et co par |ji', — X' et X'Y — [a'X, nous aurons l'équation mixte des points de contact des tangentes menées du point (a:, y^ à la courbe K. Faisant d'abord la substitution indiquée dans l'équation (2), il vient

(-/) X/gHt'-H^-+-/i(VY-H^'X)n(X,Ht; = o,

et c'est entre cette équation et l'équation (1) que nous devons éliminer X et [ji; comme nous avons à déterminer la droite polaire do point (Ç, 7^) relativement à Co, j'observe d'abord que l'on peut négliger les puissances de X et de Y supérieures à la première. L'équation mixte des points de contact devient alors simplement, en supprimant les accents,

(3) U(X,fz)+/i(XY — |iX)n(X, ^) = o,

ou encore

(a,6, c)-4-[naY, (/i-i)?Y— aX, (/i — 7.)yY - 2pX, ...].

Il résulte de là que l'équation de la courbe Cq s'obtiendra (en négligeant toujours les puissances de X et de Y supérieures à la première) en y remplaçant respectivement a, 6, c, . . . par a-4-/iaY, t -f- (n — i),ÎY — aX, c -I- (n — ^)yY — 2,3X, ...,

4l3 OÉOMÉTRIE.

et en siibsllliiaiil aux lellies x et y les IcUres Ç, 7^ dans les nomes a', 6', . . ., a'', 6", . . ., . . ..

Désignant, pour un instant, les résultats de cette substil par A', B', . . ., A", B'', . . ., . . ., Téquation de la courbe Co a

V, = V(a-+-/iaY, ...; A, B', ...; A', B", . ..) = o,

et Péquation de la droite polaire du point (x,y) relativemen

les lettres ^ et t^ élant de nouveau remplacées par les letl et y dans les dérivées partielles.

On a évidemment

ÎS X

dV

""^-dx-

dS M da' dx

d\ da^ da' dx

OU, en vertu de formules que j'ai données dans le Mémoirecité,

déjà

\ d\ I da dx db dx

dS da' da' dx

dS d^ da' dx

«jke

On démontrerait de même que (-—p-) ^^ lï~ ^^ \1F')^^ La proposition est donc complètement établie.

Remarque, — Dans la définition de la courbe Cq, on volt (^^r^xt la courbe K a été remplacée par un système de points; il est cl-^ c^ que Ton pourrait faire de même pour chacune des autres courl K', K^, . . ., et même pour tontes ces courbes.

2. La proposition précédente permet de résoudre dans un gran nombre de cas intéressants le problème suivant qui comprend, e particulier, le problème de la construction de la tangente :

Etant donnée une courbe^ construire la droite polaire cVuï point du plan relativement à cette courbe.

Ainsi, la podaire d'une courbe K étant le lieu des points d'o l'on voit sous nu angle droit cette courbe et un point fixe P, on immédiatement la proposition suivante :

Etant donnée la podaire C dUin point P relativement à un

SUR LES POLAIRES D'uNE DROITE. 4^3

courbe K^ la polaire (*) d'un point M du plan relativement à la podaire est la polaire du même point relativement aux divers cercles ayant pour diamètres les droites qui joignent le point Vaux points de contact des tangentes menées du point M à la courbe K.

Semblablemenl, une spirique A élanl le lieu des points d^où FoD voit sous un angle donné a une conique B, on peut énoncer ce théorème :

La polaire d' un point M relativement à la spirique A est la polaire de ce même point relativement aux deux cercles capables de V angle donné et ayant pour corde commune la droite qui joint les points de contact des tangentes menées de M à la conique B.

3. Les conséquences les plus importantes du théorème I sont contenues dans les propositions suivantes que j*ai déjà données dans une Note Sur quelques propriétés des courbes algé" briques {*) :

Théorème II. — Étant données deux courbes quelconques IL"^ et K\ de classe respectivement égale à m et à n, la polaire ^'un point quelconque M, relativement aux mn tangentes communes à ces courbes, est la polaire du même point relativement aux mn droites qui joignent les points de contact des tangentes menées de M à R'" aux points de contact des tangentes menées du même point à K".

Théouême III (corrélatif du précédent). — Étant données deux courbes quelconques G'" et G", d'ordre respectivement ^S^l à m et à n, le pâle d'une droite quelconque, relativement ^wa? mn points d'intersection de ces courbes, est le pôle de la ^éme droite relativement aux mn points d"^ intersection des ^f^ngentes menées à G*" aux points où cette courbe rencontre la droite avec les tangentes menées à G" en ses points de rencontre ^^ec la droite.

( ) Ici, comme dans la suite de celle Note, j'appelle simplement polaire d'un point la droiu polaire de ce point.

( ) Comptes rendus de l'Acad, des Se, mai 1873.

TBioRÊifc rV. — La polaire d^um. point quelconque relativement à une courbe de z»*^*^ classe est la polaire du ntime point

relativement aux ^^— droites qui joignent deux à deux

les points de contact des tangentes que Von peut mener du point à la courbe.

Remarque. — Si la courbe a des UDgentes d^inflenion el d tangentes doubles ^ ces droites doivent être considérées comm faisant partie de cette courbe^ en comptant deux fois chaque tan gente double et trois fois chaque tangente d^inflexion.

TnéOEÊME V (corrélatif du précédent). — Le pôle d'une droit quelconque relativement à une courbe du /i*^«* ordre est

pôle de la même droite relati>;ement aux — points d^ intersection des tangentes menées à la courbe aux points où ell^ est rencontrée par la droite.

Remarque. — Si la courbe a des points doubles et des poinL^V -«ts de rebroussemenl, ces points doivent être considérés comme fai^r .^.:^fliisant partie de cette courbe, en comptant deux fois chaque poiinz^^ n^ double cl trois fois chaque point de rebroussemenl.

-4. Considérons une courbe gauche quelconque K et une droi de Tespace A; par celle droite, menons un plan quelconque prenons le pôle de la droile relalivemenl aux points d^inlerseclio du plan el de la courbe; lorsque le plan tourne aulour de droite, le lieu du pôle est une droile que j'appellerai W polaii de A relalivemenl à la courbe gauche el que je désignerai par notation A(K).

Poncclel a donné de belles propriétés de ces polaires (*); o voit immédiatement, par exemple, que lu polaire d'une droi relalivemenl à une courbe gauche est la polaire de cette droi

(') Propriétés projeclLK es des figures. Section IV. Foocelet, au lieu du im polaire, emploie l'expression à'axe des moyennes harmoniques.

SUR LES POLAinSS d'UNE DROITE. ^ib

ilivemcDt aux tangentes menées à cette courbe aux points où est coupée par un plan quelconque mené par la droite. Je ne

is pas que, jusqu'ici, on ait indiqué comment on peut déter-

ler la polaire d'une droite relativement à une courbe, lorsque au de donner celte courbe on la définit comme l'intersection de

X surfaces. Je m'occuperai simplemeht ici du cas où la courbe

l'intersection complète de deux surfaces, les autres cas se

enant évidemment à celui-là.

»u théorème III on déduit immédiatement la proposition sui-

HÉORÈME VI. — Une courbe gauche étant l'intersection plète de deux surfaces S et S', la polaire d'une droite itivement à cette courbe est la polaire de cette même droite Hivernent aux diverses droites d' intersection des plans lés tangentiellement à S aux points où cette surface ren-tre la droite avec les plans menés tangentiellement à S' aux Ils où la droite coupe cette surface.

Considérons une surface quelconque S et une droite de l'es- ' A; par cette droite menons un plan quelconque et prenons le

de la droite relativement à la courbe d'intersection de la ice et du plan (la courbe étant considérée comme étant d'une e donnée); lorsque le plan tourne autour de la droite, le pôle il une droite que j'appellerai la polaire de A, relativement à rface et que je représenterai par la notation A(2). Mie polaire peut être évidemment encore définie comme l'en- >pe des plans polaires des dilTérenls points de A relativement cônes circonscrits à 2) et aj^ant ces points pour sommets (ces s étant considérés comme d'un ordre donné). ir suite, si la surface S ne comporte aucune singularité relati- Bnt à son ordre, c'est-à-dire n'a ni ligne double ni ligne de oussement, on déduit immédiatement du théorème V la prolion suivante :

HÉOKÈME VII. — Si une surface du n'^"^^ ordre n'a aucune ^ularité, la polaire d^ une droite relativement à cette sur-

? est la polaire de cette droite relativement aux

/|l6 GÉûMÉTRtE.

droites suivant lesquelles se coupent les plans qui touchent l surface aux points où elle rencontre la droite.

De même, si la surface S ne comporte aucune singularité relativement à sa classe, le théorème IV donne la proposition suivante corrélative de la précédente :

Théorème VIII. — Si une sur/ace de n^^"^^ classe n^a aucune singularité, la polaire d'une droite relativement à celte sur*

face est la polaire de la droite relativement aux — -

droites qui joignent deux à deux les points de contact des plans tangents que l'on peut mener à la sur/ace par la droite donnée.

6. En particulier, si Ton considère une surface développable G ayant pour arête de rebrousseracnt une courbe gauche K et un point quelconque M de la droite A, le plan polaire de M, relative — ment à l'ensemble des plans osculateurs de la courbe qui passent par ce point, enveloppe, quand le point M se déplace sur la droite, . la polaire de cette droite relativement à G.

Si la développable G est définie au moyen de deux surfacesinscrites S et S', on a le théorème suivant corrélatif du théo — rème VI :

Théorème IX. — Une sur/ace développable G étant la développable complète circonscrite à deux surfaces S et S', la polaire d'une droite relativement à cette développable est la polaire de cette droite relativement aux droites qui joignent chacun des points de contact des plans menés par la droite tangcntiellement à S à chacun des points de contact des plans menés par la même droite tangcntiellement à S'.

7. En particulier, considérons une suite de surfaces homofocales du second ordre (S) inscrite dans la développable isotrope F.

Soient 2 et S' deux quelconques de ces surfaces; d'une droite A on peut leur mener quatre plans tangents, les droites qui joignent les points de contact sur l'une des surfaces avec les points de contact sur l'autre forment un quadrilatère gauche Q.

sru I.KS roLAïUKs D'rxK dhoitk. 4«7

De ce qui précède, il résulte que :

La polaire de la droite \par rapport au quadrilatère Q (' ) est la même, quelles que soient les deux sur/aces homofocales considérées, et se confond avec la polaire de celte même droite relativement à la développable isotrope circonscrite.

En particulier, si la surface S' se réduit ù romhilicale, la polaire de A se réduit à la polaire de cette droite relativeuieiU aux normales que Ton peut mener à S aux deux |)oints où cette surface est touchée par les plans tangents ({u^on peut lui mener par A. D'où celte conséquence :

■Etant donnés un système de surfaces homofocales du second ordre (S) et une droite fixe A, si par A on mène les plans tangents à une surf ace quelconque S du système et si Von prend ^ polaire de A relativement aux normales qu'on peut mener ^ 21 aux deux points de contact, la polaire de A relativement à ces normales est la même quelle que soit la surface du sys- ^^nie que l'on considère et elle se confond avec la polaire rela- ^^^*€/nent à la développable isotrope circonscrite au système ('^),

"• Les deux théorèmes généraux VII et VIII s'appliquent, avec 4**elc|ues modifications, à toute surface donnée, en sorte qu'ils

•-■'"tiissent en réalité deux moyens distincts de construire la polaire d\ine droite donnée relati\'en)cnt à celte surface. Il serait

^■•e d'énoncer à ce sujet les propositions générales, mais je crois

.^ 1 Ce quadrilatère Q jouit encore de plusieurs autres propriétés intéressa nies; *' i<z somme de deux de ses côtes conligus est e'gate à ta somme des deux f''*» [^Mémoire sur l'emploi des imaginaires dans la géométrie de l'espace \^ouv. Ann. de Math:, 1872)].

^ ) Cette proposition s'étend évidemment à un système de surfaces homofocales H^elconques; on peut la considérer comme l'extension à l'espace de ce Ihéoronie nUift f ai donné depuis longtemps :

*^ centre harmonique d'un point, par rapport aux points de contact des

^'^S^ntes qu^on peut mener de ce point à une courbe de n''"'" classe, est le

"*'** harmonique du même point relativement aux n foyers de la courbe.