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f\lH OKOMÉTRIK.
înulilc de le faire et je me conlenlcraî d'énoncer les résuUa^* relatifs à deux surfaces particulières des plus simples.
Considérons, en premier lieu, une cubique gauche Rellad^*^' loppahle du quatrième ordre G dont elle est l'aréle de rebroifs»*^ ment; soient A(K) et A(G) les polaires d'une même droite Ai*«^« tivement à la courbe gaucbé et à la développable (C/, n***4et: 6
Si, d'un point quelconque M de la droite A, on mène le c contenant la courbe K, ce cône est du troisième degré et d^ (pialrième classe; il a trois plans d'inflexion, qui sont les|il^i osculateurs que Ton peut mener à K par le point M. Le p ■* polaire de M relativement à ce cône contient la polaire A(K); c théorème IV et des considérations ci-dessus développées (n* t résulte la proposition suivante :
Thkoiième X. — Jsn désignant par t r ensemble des -y/ droites qui joignent deux à deux les quatre points de è courbe K, dont les tangentes s'appuient sur A, on a la relal^^
'.il{t) -^ A(K)-;- 3A(Gj.
9. Concevons maintenant que, parla droite A, on mène un |>1 a quclcon(juc; il coupe la surface G suivant une courbe du qiLia Irième ordre et de la troisième classe ayant pour point de rcbro tj? sèment ses trois points de rebroussement sur R. Le pôled^ï relativement à celle courbe est sur A (G); du théorème V résu II la proposition suivante :
Thkorèmk XI. — Jui désigna tit par T C ensemble des ^i^ droites su lisant lesquelles se coupent les plans osculat^^^''' menés aux points de K, dont les tangentes s'appuient sur' A
uA(T) - A(G)-^- 3A(K).
Jtennirque. — On déduit <lc là
iA(G)^3A(/) — A(T) et
ou voit que les polaires d'une droite relativement à K et à G sont déterminées quanti ou connaît les quatre tangentes à la courbe qui la rencontrent. Par suite :
8UU LK8 POLAIUES D*U\K DIIOITK. ''1I9
*ux droites \ et M ^ conjuguées par rapport à la cubique g-r^ische K, ont mêmes polaires refatii^ement à cette cubique, et rd€X iivcment à la désreloppable dont elle est C arête de rebrous-
C^^s deux polaires sont également conjuguées par rapport il £nc cubique.
10. Considérons en second lieu une surface rt'ijiée S du Iroisîonne ordre (et par conséquent de troisième classe); appelons D la cl îreclrice double de celle surface el D' la seconde directrice r<?o l.iligne; on sait que tout plan passant par D' est doublement lancent à la surface.
delà posé, soient A une droite quelconque de Tcspacc et A(S) •**a |:3c3laire relativement à S; si Ton mène par A un plan quelconque, *' croupe S suivant une courbe du troisième ordre et de la qua- ^■'^^^rne classe ayant pour point double le point de rencontre de ce P^^ ciMavecD. Du théorème IV, on déduit la proposition suivante :
^HÉORÈME XII. — En désignant par t le triangle formé par jioints de contact des plans tangents que Von peut mener par la droite 1, on a
•xMf) = A(S)H-'2A(D).
et
il =
1 1. Prenons maintenant un point quelconque M sur la droite A ■ Knaginons le cône circonscrit à la surface et ayant ce point pour * ^*met; ce cône est de la troisième classe el du quatrième ordre; pour plan double le plan mené par le point M et par la ***^^>îleD'.
-*-^u tbéorème V résulte donc la proposition suivante :
X^HÉonkME XIII. — En désignant par T les arêtes du trièdre '^ ^^^^mé par les plans menés tangentiellement à S en ses points
rencontre avec A, on a
•jiA(T)^: A(S;-r-2A(D').
ÏJes deux relations précédentes, on déduit
^^enliié sur laquelle je reviendrai plus lard.
