SUR UN THÉORÈME DE GÉOMÉTRIE

Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences, 1875.

Dans ravanl-deriiier niiiiiéro des Comptes rendus, M. Ribaticour a donné celle élégante proposilion, démonlrée depuis géomé- Iriquemenl par M. Mannlieim :

Le rayon de courbure géodésique d'une courbe 2 à courbure normale constante est les § du rayon de courbure géodésique de la section plane S', ayant même tangente et suroS" culée par un cercle.

Considérons sur une surface quelconque deux courbes S et 2' se louclianl au poinl M. Soîenl p et /• le rayon de courbure et le rayon de torsion de la courbe 2 au point M; ny Tangle que fait en ce point le plan osculaleur à la courbe avec la normale à la surface; désignons par des lettres accentuées les valeurs des mêmes quantités relatives à la courbe S'.

Portons enfin sur chacune des deux courbes, à partir du point M, une même longueur infiniment petite ds.

On aura d'abord, en vertu d'une expression donnée par M. Ossian Bonnet de la torsion géodésique,

( I ) dw = dm' T ;

puis, en vertu d'une relation que j'ai donnée {Bulletin de la SocitUv philomathiquCy t. Vil, p. 5i),

/ V / f 1 ds\ i dp , / j , "x ds\ \ dû

(■X) tangm(^rf^- - j + 3 -Jl= tangm [dm---^^^- -Ç,

ou encore, en introduisant, relativement à la première courbe. le

SUll UN TIIEOUKME DK GKOMKtRIE. 4^'

>n R de la section normale à la surface et tangente en M à Jl,

I £/R 2 / . ds\ , I . , '?. ds\ I dû'

r) — — -ir — tansm i dm ) ^ tansTu f dm —7 I H — — ^«

ipposons maintenant que IS soit une courbe a courbure nor- : constante et S' la courbe plane ayant même langente et sculée par un cercle; on aura évidemment rfR. = o, rfp'=:o = 00.

îs équations (1) ci {2 bis) deviennent alors

dm = dm'

:l :^ tangiu (dm j = ian^^m' dm';

lan<»Tn'= J tangTu,

iule qui est l'expression analytique du théorème ci-dessus