SUR LES COURBES DU TROISIÈME ORDÏU
Bulletin de la Société mathématique de France; 1875-1876.
1. Soil- une cubique fondamenlale U = o; en ndoptanlles dgp lions de M. Salmon {Iligher plane curvesj p. i83 el suiv.), désignerai par S el T les deux invarianls de U, par H son hessi cl par F, P cl Q ses conlrevarianls principaux. La hessicnne de courbe aura donc pour équalion H = o ; Inéquation tangenlielle la courbe elle-même sera F = o; cl Téqualion langenliellc de caj'leyenne P = o.
La cubique fondamentale et sa hessicnne délerniinenl un fai ceau (U); une courbe quelconque de ce faisceau a pour équalioi U -I- 60 H = o ; je la désignerai par la nolalion Up.
Je considérerai en même temps le faisceau tangentiel des courbe déterminées par l'équation F — ôpP^^ o, et je désignerai par I notation Fp la courbe de ce faisceau qui correspond t» une valeu déterminée de p.
2. Un syslrme de trois points étant déterminé sur une droite^ par les racines d'une équation obtenue en égalant à zéro un polynôme du troisième degré
ax^-^ '^bx^-T- icx -{- d^
j'appellerai points cova riants du système les points déterminés sur la droite par les racines de Téquation obtenue en égalant à zéro le polvnome du second degré
{ac— b^)x'-\- ( ad — bc)x -h- {bd — c^)
covariant du précédcnl.
SUR LES COURBES DU TIIOISIKME OllDUK. :'|23
Cela posé, on a les propositions suivantes :
- Une droite quelconque D du plan de U rencontrant cette
" rbe en un système de trois points, les deux points covariants
e système sont situés sur une même cubique du faisceau (U).
Ite cubique rencontre D en un troisième point que j'appclli le centre de la droite.
I. Par tout point M du plan passent quatre droites ayant mnt M pour centre; je les appellerai les rayons du point M.
II. Si, d' un point quelconque M de la cubique Up, on mène tangentes à la conique polaire de M par rapport à U, ces
gentes enveloppent la surface de sixième classe Fp. IV. Des six tangentes que Von peut mener d^un point M U à la courbe Fp, deux sont les tangentes menées du point M ^i -^ct conique polaire relativement à U, les quatre autres sont ^^^ rczyons du point M.
V. Si une droite se meut tangentiellement à Fp, son centre d^tj-nit la cubique \j^.
Vl . Si une droite touche Fp au point A. et rencontre Up aux P^*^9 £s a^ 6, Cj les quatre points A, a, />, c forment un système ^^^^^^^lonique,
^- Voici quelques conséquences de celte dernière proposition :
fc-t-anl donnée une cubique U, si Ton clicrcbe les courbes jouis-
^^^^ de la propriété qu^ine quelconque de leurs tan<;;enles est par-
^S"^^; harmoniquement par leur [)oint de contact et les trois points
*^^ ^ lie rencontre la cubique U, on trouve que ces courbes sont
^'6*^ljriques, et il est facile d'en obtenir une construction gcoiné-
^'*5^^ie(').
^^- toute cubique U se rattache en effet une intégrale elliptique
I ^^^quî jouit de la propriété suivante : désignons, en général,
p^^ (M) la valeur de cetle intégrale prise depuis un point convenav^\ement choisi jtistju'à un point M pris arbitrairement sur cette
\M Voir, sur ce sujet, ma Note Sur un problème de Géométrie relatif aux cOUrOes ffauc/iex du t/uatrivme ordre. Il {Journal de MaChéma/if/ues, .i' série, t- \V).
f^-i'l OÊOMKTHIE.
courbe; la condition nécessaire et siinisanlc pour que trois pointa A, B, Cde la courbe soient en ligne droite peut s'exprimer parU
relation
le signe de la congruence indiquant que la somme, qui se trouve dans le premier membre, est de la forme mp -f- nq^ m et n désignant des nombres entiers, p cl q les deux périodes de rînlégralc. Si une droite tourne autour d\in point A de la courbe, en désignant par B et C les deux points variables où cette droite mobile coupe la courbe, on aura, en vertu de ce qui précède,
(A) = o, et, par suilc,
(n)-+-(C)so,
ce qui donne géométriquement Tintégrale de Tcqualion
Si maintenant on désigne par A' le point conjugué liarmoniqiie de A relativement à B et à G, on voit que la droite, en tournant infiniment peu autour du point A', décrit sur la courbe deux segments infiniment pelits égaux à ceux qu'elle décrivait en tournant autour du point A, l'un de ces segments étant décrit dans un sens contraire.
On a donc, dans ce cas,
équation dont Tintégrale est (B) — (G) ■- : o.
D'où celle conclusion :
Si une courbe est telle, qu'une quelconque de ses tangentes rencontrant la cubique U en trois points A, B, C, son point de contact soit le conjugué harmonique du point A relativement à B et à G, les points variables B ^/ G sont reliés par ta
relation
De là encore une construction géométrique simple de ces courbes.
Soient, en offel, b et c deux points fixes pris sur la courbe et M
SUR LES COURBES DU TR0I8IKMK OUDltE.
^^ f>oinl mobile décrivant celle courbe. Menons les drolles Mb €<• ^/Sl€ et appelons B et C les points où elles coupent respecliveï^^tit U; je dis que la droite BC enveloppe une courbe jouissant
A*^ la propri^^té énoncée. Les trois points M, 6, B éianl on eflel en
l^%tie droite, ainsi que les points M, c, C, on a
d'où
ou
(B) — (C; = (c) — (6) s consi.
Il est clair, d'ailleurs, que, pour obtenir toutes les courbes cherchées, il suffit, un des points b étant choisi arbitrairement et restant fixe, de faire varier le point C.
5. Quelque simple que soit la construction géométrique que je viens de donner, elle se prêterait peut-être difficilement à la recherche de l'équation générale des courbes elles-mêmes.
Le théorème VI donné ci-dessus (3) permet d'}' arriver facilement.
On voit, en effet, qu'étant donnée une cubique Up, la courbe de sixième classe Fp est une solution delà question; or, Up étant une courbe déterminée, comme on peut prendre pour cubique fondanaenlale une quelconque des cubiques du faisceau (U), on voit qu'il lui correspond une inGnité de courbes Fp dont Tensemble donne la solution complète du problème.
Pour achever la solution, changeons U en U -f- ()XH, A étant un nombre indéterminé; H, P et F deviennent alors respectivement (Salmon, loc. cit., p. 189 et suiv.)
(2SX — TX*.t-8S»X»>U-^(i-hi2SA*-^aTÀ^)II, P -f- QX - 1 jiSPa«-t- 4(SQ - TP)X'
et
(i-f-24SX»-f-8TX»--48S«X^)F — 24(X-+-2TX*)Pî— •24(Xî-4SX>)PQ-8X3Q«;
par suite, Up devient
u[i — •iSX — TX«-*-8S«x»]-f-r,n[X-+-p(i-M-îSX*-4-iTX')],
4ar> GÉOMÉTRIE.
OU simplement U, si Ton détermine o par la condition
En efTectnant la même transformation dans Fp, cette expression devient, réductions faites,
(I -+- 24SX«-i- 8TÀÏ— 48S»X*) X [(i-f-i2SX«-f-2TX»)F--i8XP«— lîX'PQ — -iX'Q»];
Téquation générale des courbes considérées est donc
(i-M2SX«-i-2TX»)F — iSXP»— i2X«PQ — 2X»Q«= o.
SUR
Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences; 1875.
1. Une courbe de /i'*"« classe peut êwc considérée comme une courbed'ordre/i(/i — i).Elant donnée une lellecourbeK" = C''^''~'\ les polaires des divers ordres d'un point INl du plan relativcmenl à Qn(n-i) dépendent, en général, non seulement des points de contact des tangentes que Ton peut mener du point M à la courbe, mais encore des singularités de la courbe. Il est remarquable que la droite polaire du point M ne dépende que des points de contact; on a en elTet la proposition suivante :
Théoeème I. — S if d'un point M pris dans le plan d'une courbe de /i"^"*^ classe K"r^ C"^""'^, on mène les n tangentes à
la courbe, et si l'on considère les ^ droites qui joignent
deux à deux les points de contact y la droite polaire de ^l relativement à C^""*^ est la droite polaire du même point relatii'e-
/lient aux droites considérées.
Démonstration ( * ). — Soient w = wx -+- vy -\- ivz = o Féquation d*une' droite D du plan ;
U = Cflr, ^, c, . . . ) = o réquation mixte de K." et FI = (a, ^, •', . . .) Téquation mixte de
*) J'emploie ici le« nolalions dont je me suis servi dans mon Mémoire sur t 'application de la théorie des formes binaires à la Géométrie analytique Journal de Mathématif/uesj'i' série, l. I).
4a8 GÉOMÉTRIE.
la polaire de la droite de Tinfini relativement à K". L'équalioiiM^ mixte de la polaire de D relativement à K" est (F. B., n** 4)^ wUa — dJ| H-(i>n = o; si Ton élimine X et |x entre celte équation eB Téquation (i), on obtient Téqualion T = o des /i(/i — i) tangentes menées à K" aux points de rencontre de cette courbe et de D. Si, enn* posant pour abréger X = 5 — j:etY = 7i — J'(Çet7| désignant le*: ^ coordonnées courantes), on remplace, dans le résultant T, </, » et (0 respectivement par [jl, — A etXY — [jlX, l'expression T' ains^* obtenue étant égalée à zéro donne Téquation mixte des points d»^ A contact des n tangentes menées du point (^x^y) à la courb< EnHn^ si Ton forme le discriminant de T', ce discriminant sera ui
carré pnrfait R^ et Féquation R = o représentera les -^^ — ^^—^ droit<
menlionnées dans l'énoncé du ihéorème. Il faut maintenant forme=" l'équation de la droite polaire du point (x^, y) relativement à l ^ courbe R == o, ou, ce qui est la même chose, relativement à I^ courbe R2= o; et je remarque d'abord qu'il suffit de calculer dan 5 le discriminant R^ le terme constant et les termes du premier degré en X et en Y, en négligeant les termes du second degré.
Le résultant ï, quand on y néglige les termes en ci> d'un degré supérieur au premier, est simplement U( — i', w) 4- /îci)ll( — i', w), comme on le voit facilement en se servant de la formule élémentaire qui donne la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples; on déduit de là
T'= U(X, jx)H-/ï(XY- -;i.X)U(X, fx), ou
T'= (a, A, c, . , .) -h [/laY, (/i — i) ^ Y — aX, (« — 2) y^^ — ^^^], ... ;
d'où, en négligeant toujours les puissances de X et de Y supérieures à la première et en appelant A le discriminant de U (égalé à zéro il donne l'équation de C"^"~'^)
da ' CIO
d'où encore, en se rappelant que H = o représente la polaire de la droite de l'infini et en em|)loyant une formule donnée dans le Mémoire déjà cité (F, IJ., n" 13),
R* = A -h X -, — ri -7- »
ax dy
r,, . H SL'R QUELQUES PROPRIÉTÉS DES GOURDES ALUÉBRIQUES. 4^9
^ î B la polaire du poînl (x^y) relativcnienià R^ esl
Vf
00, en verlii du ihéorèine connu sur les fondions homogènes,
^dl dl ^ dl
^di-^'^d^'^-lTz^''' La proposition est donc démontrée.
2. Si la courbe de /i'*™*^ classe K" est une courbe C'" d'ordre ioférî<»nr à/i(/i — i), le théorème précédent lui est applicable en la considérant comme une courbe d'ordre n{n — i) oblenue en adjoignant à C'^ ses t tangentes doubles (chacune d'elles étant ^^mptée deux fois) et ses i tangentes d'inflexion (chacune d'elles ^^nt comptée trois fois).
^"Kx peut donc énoncer la proposition suivante :
T^^oBÈMB II. — Étant donnée une courbe de n^^"^^ classe et
^ ^^^éme ordre ¥J* = C/^ j possédant t tangentes doubles et i tan-
^^^^^cs d*inflexion, si l'on désigne respectivement par D, I, T
^ ^es droites polaires d'un point M du plan relativement à
^ ^^ourbe C*", à V ensemble des tangentes doubles, à V ensemble
. '*' tangentes d'inflexion et à l'ensemble des droites qui
^ ^-iS^^ent, deux à deux, les points de contact des tangentes
^^^^es du point Ma K", la droite A est la polaire du point M
-, ^^^ Mivement au triangle formé par les droites D, T etl, ces
^^ ^tes étant supposées de poids proportionnel aux nombres m,
n d^autres termes, si par 1^ point M on mène une sécante quel- ^^^ue rencontrant respectivement les droites D, ï, 1 et A aux ^ ^ts ûT, t'^ i' et o', on a la relation
u(n — \) m 'xt 3 i'
M 8' ^ Ud! Ut' Ui'
^. En particulier, si la courbe considérée se décompose en deux ^Vârbes distinctes, on obtient la proposition suivante :
Théorème III. — Étant données deux courbes quelconques de
43o GÉOMÉTRIE.
classe n et n'y K" et R"', la droite polaire dUtn point qnAconque M du plan ^relativement à leurs nn' tangentes commnmiy est la droite polaire du même point relativement aux nn' droites r/ui joignent les points de contact des tangentes menées de M à K" aux points de contact des tangentes menées de M à R*'.
Si lacourhc R"' se réduil à un poinl P, on obtient le théorème suivant :
Si Ion considère les tangentes menées d'un point V à une courbe de n^^"'*" classe R", la droite polaire d'un point quelconque M du plan, relativement à l'ensemble de ces tangentes, est la droite polaire du même point relativement aux droites tjui joignent au point P les points de contcu^t des tangentes à R" issues du point M.
SI, en particulier, on suppose que les droites issues du point P soient isotro/fcs, on retrouve ce théorème que j'aî déjà donné dans ma Note Sur la détermination du rayon de courbure des lignes planes [DulL de la Société phiL, 186^).
Si, d'un point M, on mène les n tangentes à une courbe de classe /«, le centre harmonique du point ^l^ relative/nen t aux n points de contact , est le même que le centre harmonique du même point relativement aux n foyers réels de la courbe.
i. Si la courbe donnée est une courbe de troisième classe R"» rzz: O, on voit que la polaire d'un point M, relativement à C®, est la polaire de ce point relativement au triangle formé par Jes ])oints de contacl des (angentes issues de M.
Si M est sur la cajicjenne de R^, ces points sont en ligne droite; donc cette droilc est la polaire de M relativement h C*, d'où ces conséquences :
Iai hessirnnc de R'* est l enveloppe des droites polaires, relativement à C'*, des poitits de la cayleyenne de R'.
Luc droite, tangente en M à R^, coupe C^ en quatre points distincts de M; les trois pôles de M, relativement ù ces quatre points, sont les points où la droite coupe la cayleyenne.
8t'R QUELQUES PROrRIÈTÈS DES COURBES ALQKBRIQUES. /|3l
o. On déduit de la lliéorie des polaires réciproques une série de théorèmes analogues aux précédents el relatifs aux |)ôles d\ine droite par rapport à une courbe donnée. Il est inutile de les énoncer; leur considération, néanmoins, est indispensable, notamment dans Tapplication des propositions précédentes à la lliéorie des surfaces algébriques.
