LES LIGNES DE COURBURE

Journal de Mathématiques pures et appliquées: 1876.

1. Les propriétés générales des surfaces du qualrîème ord ayant une ligne double du second ordre et des surfaces de qu; trième classe, corrélatives des précédentes, qui sont doublemei inscrites dans un cône du second ordre, sont actuellement bi( connues. L^étude des variétés de ces surfaces peut néanmoins oflfi quelque intérêt à l'égard de leurs propriétés métriques; la surfai qui fait l'objet de cette Note peut être considérée comme une d( corrélatives de l'anallagmalique du quatrième ordre à centre comme une transformée homographique de la surface parallèle l'ellipsoïde : on peut construire ses lignes de courbure, et sa dé( nition géométrique très simple lu rattache éhoitemcnt aux surfac< du second ordre; on peut la définir ainsi qu'il suit :

2. Soient S et 5 deux surfaces homofocales du second ordr et P un de leurs plans principaux communs; par une droite prise arbitrairement dans le |)lan P, menons un plan touchant 1 surface S au point M, et un plan touchant la surface S au point m * D'après un théorème connu, du à M. Chasies, la droite Mm es Cperpendiculaire à D : on peut donc par D mener un plan perpendiculaire à M/7<; appelons [x le point d'intersection de ces deusc plans.

Lorsque D se déplace dans le plan P, le point u. décrit une surface i], et c'est celte surface dont je veux étudier les propriétés; je dirai, pour simplifier le langage, qu'à la droite D du plan P

SUR UNE SURrACE DB QUATRIÈME CLASSE. 4^3

-espondent respectivement les points M, m et [x des surfaces S, ^ ot. S; en sorte qu'à chaque droite du plan correspondent deux points sur chacune des surfaces du second ordre, et quatre points sux- la surface S.