Cette propriété donne lieu au théorème suivant

Si une droite se déplace en s appuyant sur deux droites fixes et en restant tangente à une sphère y la courbe suivant laquelle la surface ainsi engendrée touche la sphère est unr cassinienne dont les deux droites fixes sont deux cordes; et, d'après la proposition précédente, la cassinienne ainsi obtenue peut être engendrée d'une infinité de façons au moyen de deux cordes associées quelconques de la courbe.

10. Une cassinienne est complètement définie lorsqu'on coiiiiiiil L. - II. \

00 OEOMETIUE.

les deux points P et Q, qui sont conjugués harmoniques par rapport à tous les couples clç points conjugués, et le cercle A correspondant à un point R de la sphère.

Soient M un point quelconque de la sphère et N son réciproque par rapport au cercle A, je veux dire le point où la sphère est percée parla droite qui joint le point M au pôle du plan du cercle. Il est facile de déterminer sur la sphère deux points a et y, qui soient en rapport anharmonique avec les points M et R, ainsi qu'avec les points P et Q. On peut, si l'on veut, considérer les droites PQ et MR ainsi que leurs polaires; il y aura deux droites qui les rencontreront toutes les quatre, et ces droites seront ellesmêmes polaires réciproques. Par suite, il y en aura une et une seule qui coupera la sphère en des points réels; ces deux points seront les deux points a et y cherchés. On déterminerait de même deux points ^ et S qui soient conjugués harmoniques par rapport aux couples de points N, R et P, Q.

Cela posé, un point quelconque m de la cassinienne considérée satisfera à la relation suivante :

— s ^ = consl.

/Il p . //t 0

On voit que les points a et y sont deux points conjugués de la sphère, en prenant ce mot dans le sens où je l'ai employé au n"3, c'est-à-dire que la droite ay rencontre la droite fixe PQ ainsi que sa polaire; il en est de même des points ^ et S. De plus il est évident que l'un des quatre points peut être pris arbitrairement. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Etant donnée une cassinienne et étant pris arbitrairement sur la sphère sur laquelle elle est tracée un couple quelconque de points conjugués, il est toujours possible de trouver un autre couple de points conjugués, de telle sorte que le produit des distances d^un point de la courbe aux points du premier couple soit dans un rapport constant avec le produit des distances du même point aux points du second couple,

11. En particulier, il y existe toujours sur une sphère un couple de points conjugués qui sont diamétralement opposés. Pour les obtenir il suffit de mener par le centre de la sphère une droite

SUR LES CASSINIENNES PLANES ET SPHERIQUES. 31

s'appayanl sur la droite PQ et sur sa polaire. Désignons par a et a! ce couple de points; on pourra déterminer d'après le théorème précédent deux autres points c et d^ tels que pour tout point de la courbe Ton ait la relation

ma. ma'

= const.,

m,c,m,d ou encore

sin ,/7ia.sin4ma

— 7 = const. ;

me . ma

et, comme sîn5ma'= cos^/?2a, la relation précédente pourra s^écrire de la façon suivante :

/\ si n ma

= consl.

w,c,md

D'où la proposition suivante :

Étant donnée une cassinienne, on peut toujours déterminer un diamètre de la sphère sur laquelle elle est tracée et deux points fixes de cette sphère, de telle sorte que le produit des distances d'un point quelconque de la courbe aux deux points fixes. divisé par la distance de ce même point au diamètre donne un quotient constant.

12. Si par une corde d'une cassinienne fixe et deux points conjugués quelconques, on mène des plans, ces divers plans forment un faisceau en involution, et les deux plans doubles de rinvolutio(i coupent la sphère suivant deux cercles orthogonaux.

13. Soient A, B e/ C, D deux couples quelconques de points conjugués d'une cassinienne; et soient a^ b^ c, d les points de la sphère qui leur sont diamétralement opposés; m désignant un point quelconque •de la courbe, la différence des aires des triangles sphériques mac et mbd est constante.

14. Lescassiniennes se changent en cassiniennes par une transformation quelconque par rayons vecteurs réciproques. Aux

5a OKOMéTRlE.

couples de points conjugués de la première courbe correspondenl des couples de points conjugués de la transformation.

En particulier, au moyen d'une projection stéréographique, les cassinienncs spbériques se transforment en cassiniennes planes. Je nie bornerai, au sujet de ces courbes, à énoncer quelques propriétés que ne partagent pas les cassiniennes spbériques.

Si l'on désigne par a, 0 et c^d deux couples quelconques de points conjugués^ la différence des angles sous lesquels ces segments ac et bd sont vus d'un point quelconque de la courbe est constante,

lo. Dans le cas ou la cassinienne est du troisième degré, la différence de ces angles est nulle.

On peut donc dire que la cassinienne cubique est le lieu d'où deux segments de droite sont vus sous des angles égaux.

L'on en déduit que, si l^on joint un point fixe de la courbe à tous les couples de points conjugués, toutes les droites ainsi obtenues sont également inclinées sur deux droites fixes rectangulaires.

16. Le lieu des points milieux des droites qui joignent les points conjugués d'une cassinienne plane est un cercle. Lorsque la cassinienne est du troisième degré, ce cercle se réduit à une droite.

Par chaque point de ce cercle (ou de cette droite) passent deux cordes de la cassinienne se coupant orlhogonalement.

L'enveloppe des cordes d'une cassinienne plane est une courbe de qualrième classe ayant pour foyers les deux foyers singuliers de la courbe et les deux points fixes du plan qui sont en rapport harmonique avec chaque couple de points conjugués.

Lorsque la cassinienne est du troisième degré, elle n'a plus qu'un foyer singulier et l'enveloppe des cordes est alors une courbe de troisième classe.

Le lieu des sommets des angles droits circonscrits à cette dernière courbe se compose de la cassinienne elle-même et de la droite, lieu des points milieux des droites qui joignent les points conjugués.