En premier lieu, j'établirai la proposition suivante
I€n un point quelconque [x de la surface S, la normale à la swM^'J'ctce est la droite jxmM qui joint les points correspondants -^ts^' les surfaces du second ordre homofocales.
A cet effet, considérons un point quelconque A situé sur la <li*oîle D, correspondant au point |jl; le cône 6, ayant pour sommet *^ j)oint A et circonscrit à la surface S, touchera cette dernière an point [JL, et, si Ton remarque que M/;j[jl est dans l'espace perpenaîculaire au plan jjlD, on pourra définir ainsi gu'il suit le cône H, ^•> plutôt la courbe sphérique 0' suivant laquelle ce cône est coupé P*"* une sphère Q ayant pour centre le point A.
t^'après un théorème connu, les traces sur la sphère Q des c<^nes circonscrits à S et 5, et ayant pour sommet le point A, sont ^^ux. coniques sphériques homofocales S' et s' \ le plan principal P ^onpe cette sphère suivant un arc sphérique P' commun à S' et ^ •*^'. Par un point quelconque d' de P', menons un arc de grand ^^ï^cle louchant S' en M', et un arc de grand cercle touchant S' ^•* /»«'; puis, par d\ menons un arc de grand cercle perpendicu- *^i i-e à l'arc de grand cercle qui joint M' et ni'. En appelant \x' leur P^*ctt d'intersection, on voit que, quand d' se déplacera sur P', 1^ Jf5crira la courbe de contour apparent B\
^i la proposition que je veux démontrer est vraie, la tangente
'^^^n^e à 0' au point y! sera l'arc de grand cercle \i! d' \ et récipro-
^'-■^^«acnt celle proposition sera démon Irée si la tangente sphérique
^ ^^ontour apparent est déterminée comme je viens de l'indiquer,
'^^xid l'œil est placé en un point quelconque de D, ou encore
^^•^^me un plan est déterminé par deux des droites qu'il contient
7^^«:id l'œil est placé en deux points distincts de D. Or, comme
^^ '^ais le faire voir, cette construction de la tangente sphérique
^^ facile à vérifier quand Tœil est placé en un des deux points où
^ droite D rencontre S.
'^^ Soit H un de ces deux points : la surface S est vue de ce L. ^ n. 28
434 OÉOMÉTRIE.
point, suivant une ellipse sphérîque S', et la surface s suivant /^^ deux foyers / et ç de cette ellipse située sur l'arc de grand cerc^^ perpendiculaire à P'.
Il s'agit donc de vérifier le théorème suivant :
Si d'un point cP de Vaxe P d^une ellipse sphérique S' on mène un arc de grand cercle touchant cette ellipse en M\ et si par d' on mène un arc de grand cercle perpendiculaire àfVliy /désignant l'un des deux foyers de f et © de S' situés sur un arc de grand cercle perpendiculaire à P, leur point d'intersection [JL décrit une courbe sphérique tangente à Varc de grand cercle [xrf'; ou, en d'autres termes, le lieu du point jjl est un cercle ayant pour centre le point f.
Ce théorème s^établit facilement dans le cas plus général où le point flf, au lieu de décrire Taxe y*'^, décrit un arc de grand cercle quelconque perpendiculaire à P'.
A cet effet, je ferai remarquer qu'il est évident lorsqu'on remplace l'ellipse sphérique par une ellipse plane et que le point M' se meut parallèlement à l'un des axes; cela résulte immédiatement de ce qu'une conique plane et un cercle ajaut pour centre Tun de ses fojers sont deux courbes homologiques; si maintenant on projolie cette conique et les axes sur une sphère ajant pour centre un point de la droite menée par le foyer, perpendiculairement au plan de la conique, on obtient le lemme sur lequel je viens de m'appuyer.
La construction de la normale à la surface !C, que j'ai donnée ci-dessus, est donc entièrement démontrée.
o. Quelques remarques sur ce qui précède ne seront pas inutiles. En premier lieu, on voit que les courbes sphériques de contour apparent de la surface S, quand l'œil est placé en un point de P, sont susceptibles d'une définition entièrement analogue à celle de la surface S, et l'on peut énoncer la proposition suivante :
Etant données deux ellipses sphériques homofocales, si, par un point quelconque D, on mène des arcs de grand cercle tan-gents aux deux ellipses, et si l'on projette orthogonalement le point D sur l'arc de grand cercle qui joint le point de con^
tact des tangentes avec les ellipses, le pied [x de Varc projetant décrit une courbe sphérique tangente à Varc de grand cercle [xD.
n est à peine utile d^indiquer qu^un théorème analogue a lieu pour les coniques homofocales planes.
6. Les surfaces S et 5 sont respectivement coupées par le plan P, suivant des ellipses E et e qui sont des coniques doubles des.
Des résultats précédents (n** 4) il résulte immédiatement que :
Le cône circonscrit à la surface S et ayant pour sommet un point H de la conique E se compose de deux cônes de révolution coupant le plan P suivant les tangentes que Von peut f^ener du point H à la conique e, et ayant pour axes les gênématrices de S qui se croisent au même point.
^s quatre cônes ont en commun quatre plans tangents; deux
0 entre eux se coupent suivant la tangente menée au point H à la
<^^niq^,eE : ce sont les plans tangents à la surface en ce point; les
^^x autres, qui sont doublement tangents à S, se coupent suivant
^® perpendiculaire au plan P.
** est facile de déterminer le degré de leur enveloppe. La sur- ^^ 2) est de quatrième classe; en effet, le plan P ne touche évi- '^^Onent pas la surface et à une droite quelconque de ce plan cor-
^Pondent quatre points de la surface, et par conséquent quatre ^*^s tangents.
"*^^r suite, le cjlindre doublement circonscrit dont je viens de ^"^r est du second ordre, et il est facile de voir que sa trace sur l^lçin P est une conique homofocale à E et e. "*-* ou cette proposition :
<2 surfojce corrélative de la surface S est une surface du trième ordre ayant une conique double.
ï-^e là se déduiraient facilement diverses conséquences relatives ^X coniques doubles de S et aux cônes du second degré qui lui ^^ot circonscrits, mais je crois inutile de m'étendre à ce sujet.
:ft:e A. I
7. D'après ce qui précède, on voit que toutes les droites telles que Mm sont normales à une même surface. Ce théorème est on cas particulier du théorème suivant, que j'ai donné, il v a déjà quelques années (*) :
Etant données deux surfaces du second degré homofocaks, B;. L
si, par une droite D située dans un plan fixe P, on mène des Jx i-î*: plans qui touchent respectivement ces sur/aces en M et en m,
toutes les cordes telles que Mm sont normales à une série de B^tr? E
sur/aces. ft'F*-'^
Dans le cas gént'ral, celte série de surfaces comprend une surface anallagniatiquc du quatrième ordre ; mais, comme je iVi fait remarquer dans un des Mémoires cités ci-dessus, lorsque le plan fixe P est un plan principal commun aux deux surfaces du second ordre, cette anailagmatiquc disparaît et est rejetée entièrement a Pinlini.
11 importait, dans ce cas, de définir géométriquement et d'uoe l'aron simple une surface particulière coupant orthogonalemcnt »€ système des rayons; d'après ce qui précède, on voit que la si»^" face ï précédemment définie donne la solution de la question* (lotte surface se comporte relativement aux anallagmaliques ^** quatrième ordre comme Thypocycloïde à quatre points de rcbroi-*^^" sèment relativement au cercle. Dans le cas général, on sait, comr^^ j«j Tai montré, déterminer les groupes de rayons qui forment M ^^
snri'accs dévcloppablcs; il on résulte que l'on saura déterminerl lignes de courbure de ]S; mais, bien que celte détermination sC^^ * . comprise comme cas particulier daus les propositions que j
données antérieurement sur ce sujet, je crois cependant utile de faire directement.
8. Étant donnée une conique quelconque K passant par points d'intersection des coniques E et e, si la droite D déplace tangentiellement à K, le point jx correspondant déc une ligne de courbure de i.
(M Sur quelques propriétés des sur/aces anallagmatiques {Bulletin de Société philomathique, i868). - Mémoire sur l'emploi des imaginaires da la Géométrie de resjnzce {.\omt'llcs Annales de Mathématiques, 187a).
SUR UNE SURrACE DE QUATRIEME CLASSE. 4^7
Démonstration. — Soient D une tangente quelconque à K touiiant cette courbe au point A; M, m et p. les points qui corres- }DdeDt respectivement à D sur les surfaces S, s et S. Si la roiteD, par un déplacement infiniment petit, tourne autour du )int A, les points M, m et {a viennent respectivement en M', ! ei\i!. Les plans polaires de  relativement aux surfaces S et 5 ant perpendiculaires à P, on voit que les droites MM' et mni se x)jeltent sur ce plan suivant les polaires de A relativement aux uniques E et e; d'où il suit, puisque les coniques Ë, e et K ont lalre points communs, que ces projections se coupent sur la Dgente en A à la conique K; en d'autres termes, les droites MM' mm! se coupent dans l'espace, les normales en jx et [x' sont donc Ds un même plan et [xjx' est tangente à une des lignes de courire qui se croisent au point [x.
CoROLLAiRi:. — Étant donné le plan tangent à la sur/ace S ■ point jA, si Von désigne par D la droite suii^ant laquelle ce tn coupe le plan P et par A e^ B les points oà la droite D iche les deux coniques du faisceau (E, e) qui lui sont tan- Iles, les droites [a A et jaB sont les directions des axes de Vinutrice au point [a.
connaissant, comme je l'ai montré plus haut, huit cônes de olution circonscrits à la surface et la touchant au point [a, on irrait construire sai\s peine les grandeurs de ces axes; mais les structions que l'on déduit immédiatement de cette considéra- 1 ne me paraissent pas assez simples pour être rapportées ici.
^ Examinons, dans quelques cas particuliers remarquables, ce
• devient la surface S.
^i la surface s se réduit à la focale de S située dans le plan P,
• confond avec S, et l'on retrouverait ainsi, si on le voulait, les ■es de courbure de celte dernière surface.
1 5 se réduit à une focale de S située dans un plan perpendicuà P, S est une cyclide de Dupin. Supposons enfin que les ^ces S et 5 se confondent; soient M un point quelconque de S iQ la perpendiculaire abaissée de ce point sur P, il est facile oir que la droite Mm est alors la symétrique de MQ relativet au plan tangent mené en M à la surface S; en d'autres
termes. Mm provient de la réflexion du rayon MP sur celle 8u^ fuce, et Ton voit, conformément au théorème de Dupin, que loos les rayons réfléchis sont normaux à S. De la construction donnée pju* le point «ji on déduit d'ailleurs que M]x = MP; la surfaceSesl donc, dans ce cas, une anticaus tique par réflexion de la surfatt (lu scconfl ordre, les rayons incidents étant parallèles à l'un de ses axes.
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