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10. De la conslruclion rpie j'ai donnée des lignes de courborc (le ï on déduit facilement que les développables, lieu des normales le long d'une de ces lignes de courbure, coupent les surfaces da second ordre S et 5 suivant un svstème de lignes conjuguées: je veux dire qu'en chaque point de l'une de ces surfaces les langenles aux courbes du syst«>me qui s'y croisent forment un système de droites conjuguées relativement à l'indicatrice en ce point. ■' ^'

De là diverses conséquences intéressantes découlant immédiatement de celte proposition due a M. Ribaucour : « Si les développables lieu des normales à une surface découpent un réseau conjugué sur une surface du second ordre S, elles y découpent utt second réseau également conjugué; elles tracent deux réseaux conjugués sur chacune des surfaces homofocales à S. Chacune des développables est elle-même circonscrite à une surface du secon* ordre homofocale à S (*) )).

11. Il est facile de démontrer que la surface S la plus généra* est une anticaustique par réfraction dUine surface du s€C9^^ ordre, les rayons incidents étant parallèles à l'un des axes ^ cette surjace.

A cet efiel, par une droite D du plan P menons un plan lo^ '^ chant la surface S en M et les deux plans tangents à s; en apf^^ lanl m et m' les points de contact de ces derniers plans, si T ^^ mène par D des plans respectivement perpendiculaires à Mm ^ ù M//i', ils couperont ces droites en deux points jjl et uf situes s ^^ la surface S, et que je désignerai sous le nom dépeints associés ^^ celle surface i*elalivement à S. D'une proposition que j'ai donn^^

(') yoiice sur /« ira\aujr mathcmaiiques de M. /fittaucour, 1873.

ieurement (*) il résulte que les droites Mjx etMjx' sont ëgait inclinées sur le plan MD, et que, par suite, les lon- *s M[x et M[jl' sont égales.

aginons maintenant la sphère ayant pour centre le point M et rayon M[x; celte sphère, d'après les propositions précés, louche la surface S aux points [x et tx'; les plans tangents s à S en ces points se coupent d'ailleurs sur le plan P suivant »ile D qui est située dans le plan mené en M langentiellement On en conclut immédiatement que le rayon de la sphère proportionnellement à la distance de son centre au plan P. La ;e S, qui est Tenveloppe de cette sphère, est donc, pour un ! de réfraction convenablement déterminé, une anlicaustiquc les rayons incidents étant perpendiculaires au plan P.

Une partie des résultats précédents peut facilement être alisée. En se reportant, en efTet, à la proposition que j'ai lée ci-dessus (n® 7), on voit que Tanallagmatique, trajectoire ^onale du système de rayons qu'elle définit, est rejetée à i, non seulement quand le plan fixe P est un plan principal un aux deux surfaces homofocales, mais encore dès qu'il par leur centre ; les surfaces trajectoires de ces rayons doivent lire considérées comme des surfaces parallèles à une anallague rejetée à Pin fini.

ir étudier directement ces surfaces, considérons d'abord une g;raatique S© déterminée par une surface du second ordre S

sphère 0 d'un rayon donné arbitrairement; étant donné un quelconque M sur la surface S, en désignant par D la distance à la sphère (distance comptée sur une tangente) et par o la ce constante du centre de la sphère à un plan quelconque P it parle centre de S, si l'on considère une sphère ayant pour

ur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques {Bulletin de la philomathique, i8 janvier 1868).

t données deux surfeuses homofocales k et B et une droite D, menons te droite les plans tangents aux deux surfaces^ et soient b et b' les ie contact relatifs à la surface B, à l'un des points de contact relatif rface A; les droites aby ab' sont dans un même plan avec la normale U a et également inclinées sur cette normale.

4^ OÉOMÉTRIK.

centre le point M et pour rayon la longueur (D — S), l'envelopP^ de ces sphères est une surface parallèle à ranallagmatiqis ^ -«*

Si maintenant on imagine que le centre de la sphère 6 s'élo ^ë^^ indéfiniment suivant une direction perpendiculaire au plan P-y -^"^ rayon conservant toujours du reste une valeur finie, Tanallag-f '"*^" tique So est alors rejetée à Tinfini : la longueur (D — o) dévie «^ *'* distance du point M au |)1an P et la surface £ parallèle à £« ^^^^ anticaustique par réflexion de S, les rayons incidents étant p.'^ <rpendiculaires à P.

Pour déterminer les lignes de courbure de cette anlicausli^^ «^ je rappellerai les propositions suivantes, que j'ai données dan^ »^3 Note Sur quelques propriétés des surfaces anallagmaiic^ ^^^^ déjà citée.

Etant donnée une surface anallagmatique Sq définie moyen dUtne surface de second ordre S et d^une sphère di^ trice B, imaginons la surface développable qui leur est < conscrite : elle a pour lignes doubles quatre coniques plar^ H désignant Vu ne quelconque de ces coniques et Q son p^ H est situé sur une surface du second ordre s homofocale r"î Si par une droite D, prise arbitrairement dans le plan Q-» mène un plan tangent à S et un plan tangent à 5, la droite joint les points de contact est normale à So-

Imaginons une quelconque des coniques passant par quatre points communs au plan Q et aux surfaces S e lorsque la droite D roulera sur cette conique, les nornir à So correspondantes formeront une surface développablG traceront une ligne de courbure sur cette surface et sur ta celles qui lui sont parallèles.

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13. Appliquons cette proposition au cas où la sphère B s'éloi à rinfini dans une direction II perpendiculaire au plan P; ravon demeurant fini. La surface développable circonscril^

réduit alors sensiblement à deux cylindres infiniment peu i rents l'un de Taulre et dont les génératrices sont sensiblei i parallèles à II. Une seule de ses lignes doubles est à distance & c^est une conique diflerant infiniment peu de la section de 1^face S par le plan conjugué à la direction II; la surface hoil^

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cale qui la renferme difTère elle-même infinimenl peu de S; on peul donc énoncer la proposition suivante :

Considérons des rayons lumineux parallèles à une direction n et venant se réfléchir sur une sur/ace de second ordre S ; sou û la courbe de contact de cette surface avec la développable (*) isotrope qui lui est circonscrite. Le plan conjugué à la direction II rencontre û en quatre points; considérons l'une quelconque des coniques qui passe par ces quatre points; sa polaire, relativement à S^ est un cylindre du second ordre coupant S suivant une biquadratique. Les rayons réfléchis le '^^g de cette biquadratique forment une surface développable^ Cl par conséquent déterminent sur U anticaustique une ligne de courbure.

14. Les mêmes considéralions s'appliquent au cas de la réfraction, en supposant que la sphère 0, en s'éloignanl à Tinfini, demeure toujours inscrite dans un cône de révolution donné.

On obtient ainsi le théorème suivant :

£^ tant données deux surfaces homofocales du second ordre S

^^ «5 et un plan fixe V passant par leur centre commun, si, par

t^^e droite D prise arbitrairement dans le plan P, on mène un

P^^^ri tangent à S et un plan tangent à s, la droite qui Joint

tes jooints de contact engendre, lorsque D se déplace, un sys-

^^^^^e de rayons.

ous ces rayons peuvent être considérés comme provenant rayons incidents parallèles et se réfractant sur S avec un ^f^^^ice de réfraction convenablement choisi; ils peuvent être ^^^''"^lement considérés comme provenant des rayons incidents allèles et se réfractant sur 5, la direction de ces seconds ans et leur indice de réfraction étant généralement difléts de la première direction et du premier indice de réfrac-

^es rayons sont normaux à deux anticaustiques par ré frac-

^ ') J'appelle ainsi la développable dans laquelle sont inscrites toutes les sur- ^«s homofocales à S.

tioriy la première relative à la surface S et la deuxième à la surface 5, et l'on peut déterminer les lignes de courbure de ces anticaustiques.

Je ne sais si Ton avait remarqué les rapports étroits qui relient entre elles la théorie des anlicaustiques des surfaces du second ordre et la théorie des surfaces homofocales, non plus que la détermination simple qui en résulte de leurs lignes de courbure.