DES SURFACES DU SECOND ORDRE

Annales de Mathématiques, 1876.

En désignanl, en un point d'une eilipsc, par pie rayon de cour-

kiire de celle ellipse, et par -,' la dérivée de ce rayon par rapport

à Tare, Maclaurin a montré comment la valeur de cette dérivée pouvait se déduire de Tangle que fait la normale à Tellipse au point considéré avec le diamètre qui passe en ce point. On peut, si l'on veut, énoncer de la façon suivante le théorème de Maclaurin :

En un point M d^une ellipse, portons sur la tangente une longueur égale à - et sur la normale une longueur égale

€1 — % Zi' "' '"^ résultante de ces deux longueurs, composées comme des Jorces, est perpendiculaire au diamètre OM.

Les lignes géodésiques des surfaces du second ordre jouissent d'une propriété semblable :

Siy en un point M d*une ligne géodésique tracée sur une surface du second ordre, nous portons sur la tangente MT à

cette courbe une longueur égale à ~ > sur la normale principale une longueur é^ale à — iz-r-^^^ sur la normale au plan

osculateur une longueur égale à -{r désignant le niyon de torsion au point considéré), la résultante de ces trois longueurs composées comme des forces est perpendiculaire au plan diamétrai conjugué de la direction MT.

444 GÉOBliTRIE.

J^ai considéré ici, pour simplifier TénoDcé, les composaDle^ ^' — r ^ ~®t -î mais il est plus convenable, dans d^autres applica'' lions, de considérer les composantes proportionnelles -r» — x ^-i^

Vi . ".'" . *^'

et— > ces composantes conservant d'ailleurs les directions qae

j'ai indiquées.

Pour abréger, appelons, si l'on veut, pour un instant, axe de courbure au point M la composante ainsi définie ; on pourra énoncer la proposition suivante :

Si MT et M'T' désignent deux droites quelconques touchant une même ligne géodésique tracée sur une sur/ace du second ordre aux points M et W, la projection de Vaxe de courbure en M sur la tangente en M' est égale à la projection de l'axe de courbure en W sur la tangente en M.

Si MT et M'T' étaient tangentes à deux lignes géodésiques difTé* rentes, tracées sur une même surface du second ordre, le rapport des deux projections dont je viens de parler demeurerait constant lorsque les droites se déplaceraient tangentiellement aux lignes géodésiques; à quoi j'ajouterai que les projections sont encore égales si les deux lignes géodésiques sont tangentes à une même ligne de courbure.