Je me proposerai maintenant le problème suivant

Déterminer les coniques qui coupent orthogonalement quatre droites données passant par un même point M.

Je ferai abstraction des cercles ayant pour centre le point M et loi satisfont évidemment au problème; il y a encore une infinité ^e solutions, et l'on pourra préciser la question en assujettissant, P^ exemple, les coniques à passer par un point fixe pris sur Tune des droites.

Je désignerai, comme ci-dessus, par U = o l'équation des quatre droitesdonnées. Cela posé, pour déterminer les droites qui joignent Iq point M aux centres des coniques qui sont des solutions du problème, il suffira d'exprimer que les racines de l'équation (2) en (i,Ti) correspondent à deux directious rectangulaires.

Soit

a = a ar- -h 2 p xy -+- y^* = o

inéquation des deux droites isotropes passant par le point M. En posant, pour abréger,

OD obtiendra l'équation suivante :

Vf"="

Le lieu des centres des coniques cherchées se compose donc de quatre droites que l'on peut déterminer par Textraction de simples racines carrées.

L'une de ces droites étant déterminée, on prendra arbitrairement un de ses points que l'on regardera comme le centre d'une conique normale aux quatre droites données. L'équation (2) déterminera les directions des axes de cette conique, et il sera facile de trouver la longueur de ses axes.

7. Comme je l'ai montré (n® 2), les quatre droites, qui joignent le point M aux centres A, B, C et D des cercles qui sont circonscrits aux triangles que l'on peut former avec les pieds des nor-

maies, sont déletniinëes par quatre des racinèft.de Téqualion

(H^/fu)(H^u)=o.

De ce que je Viens de dire plus haut il résulte que, le polynôme U étant donné, on peut, en extrayant de simples racines carrées, déterminer toutes les coniques normales aux quatre droites, et par suite déterminer le faisceau MA, MB, MC et MD. Ce faisceau doit par suite, comme je Pavais énoncé, avoir pour équation

H^l/|u=o ou H-^U=o;

autrement ces deux équations seraient résolubles par Fadjonction desimpies racines carrées, ce que Ton sait généralement être impossible.

8. Étant données quatre droites passant par un même point et déterminées par V équation u = o, il est clair qu'il existe une infinité de systèmes de trois droites jouissant de la propriété que la conjuguée harmonique de chacune d'elles rela^ tiçement aux deux autres se confond as^ec sa conjuguée harmonique relativement aux quatre droites données.

En désignant par - le paramètre d^une droite arbitrairement

choisie, les racines de l'équation (2) détermineront deux autres droites, formant avec la première un système jouissant de la propriété énoncée.

Coupons les quatre droites données par une conique K passant parleur point de rencontre et choisie du reste arbitrairement; soient a, p, y et 8 les points où ces droites rencontrent la conique ; un quelconque des systèmes de trois droites, jouissant de la propriété énoncée, rencontrera la conique en trois points/?, q et r; ces trois points formeront les sommets d'un triangle inscrit dans K, et il est clair que ce triangle sera déterminé dès que l'on connaîtra un de ses sommets. On en conclut immédiatement que tous ces triangles enveloppent une conique K'.

Considérons les quatre tangentes communes que l'on peut mener à K et à K' et le point où l'une de ces tangentes touche K ; si I'od-

prend ce point comme sommet d'an triangle inscrit dans K et circonscrit à K', on voit facilement que deux des sommets de ce deroier triangle seront confondus au point de contact.

Or en faisant, dans l'équation (2), j? = Ç et^ = yj, on obtient l'^cj nation u = o; donc les tangentes menées aux points a, p, y et S à îix conique K sont tangentes à K'.

T^ous les triangles satisfaisant à la question s'obtiendront donc

en oonstruisant les deux coniques touchant les tangentes menées

en oc, p, Y et S à K, et jouissant de la propriété qu'à chacune d'elles

o^^ puisse circonscrire un triangle inscrit dans K; on sait alors que

l'o*^ pourra en inscrire une infinité et tous ces triangles satisferont

problème proposé.

. De là résulte la détermination suivante des coniques coupant oi:*d-iogonalement quatre droites données passant par un même poî jQt M.

¥^ar M faisons passer un cercle quelconque K rencontrant les droites données aux points a, ^, y et 8 et menons en ces points les tA ni pentes au cercle.

^PSous pouvons déterminer deux coniques différentes tangentes à <r«s quatre droites et jouissant de la propriété qu'à chacune d**^! les on puisse circonscrire un triangle inscrit dans K.

^oit K' l'une de ces coniques ; sans qu'il soit besoin de la tracer, om pourra la supposer déterminée, par exemple, par une cinquième ta^Eigente. Par le centre du cercle menons une tangente à K'; ^^^^^nip et q les points où cette tangente coupe le cercle et con- ^^'"'-■^sons le troisième sommet r d'un triangle inscrit dans le cercle et oirconscrit à K'.

^-^la posé, si par le point r on mène deux droites rX et rY

^^^^*<^tlèles à Mp et Mg, on pourra construire une conique ayant

^^^^^ axes rlLet rY et coupant orthogonalement les quatre

^^*^«5 issues du point M.

. ^^*^ obtiendra ainsi, par la règle et le compas, les quatre solu-

^*^^ du problème.

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