SUR LES CASSINIENNES PLANES ET SPHÉRIQUES

17. Les cassinienncs cubiques planes ont été depuis longtemps étudiées sous le nonn àe focales. On peut consulter à ce sujet divers travaux de MM. Quetelel, Dandelin et Chasies dans les Mémoires de l^ Académie de Bruxelles et la Correspondance mathématique de Quetelet,

Le Tome V de cette dernière collection renferme à ce sujet un très intéressant Mémoire de M. Van Rees, qui y a donné les propriétés énoncées dans le n° 15 et en a d(*duit les principales conséquences.

SUR LES

SECnONS CIRCULAIRES DES SURFACES

ANALLAGMATIQUES.

Bulletin de la Socie'té philomalhique; x868.

1 . Étant donnés une sphère fixe S et un plan quelconque P, par le cercle d'intersection de la sphère et du plan on peut faire passer deux cônes isotropes. Soient p et p' les sommets de ces cônes; ces deux points sont réciproques par rapport à la sphère S; pour abréger le discours, je dirai que ces deux points sont associés au plan P, et réciproquement que le plan P est le plan associé au point p et au point/?'.

Cela posé, on peut énoncer les deux iemmes suivants :

Lemme 1. — Si un plan pilote autour dC un point fixe O, le lieu des points associés au plan dans ses diverses positions est une sphère ayant pour centre le point O et coupant orthogonalement la sphère fixe S.

Lemme IL — Si un plan tourne autour d^une droite fixe, le lieu des points associés au plan dans ses diverses positions est un cercle ayant pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée du centre de la sphère S sur la droite et coupant orthogonalement cette sphère,

2. Une surface anallagmatique peut être définie comme le lieu des points associés par rapport à une sphère S des divers plans qui touchent une surface du second degré A. LMntersection de la surface A et de la sphère S est d'ailleurs une des focales de la surface. A chaque point de Tanallagmatique est associé un plan qui

SUR LES SECTIONS CIRCULAIRES DES SURFACES ANALLAQMATIQUE8. Si

todclie la surface  eu un cerlaîn point correspondant au premier; à toute courbe tracée sur Tanallagmatique correspondra une certaine courbe formée par les points de contact avec la surface  des divers plans associés aux points de la courbe tracée sur Tanallag^malique.

Des deux lemmes que j'ai donnés ci-dessus on déduit immédiatement les deux propositions suivantes :

L^o, normale en un point M d*une anallagmatique est la dr€>ite qui joint ce point au point correspondant sur la surfac^ A.

JE tant donnés une courbe C tracée sur l'anallagmatique et un j^oint M de cette courbe, si l'on désigne par c la courbe corresjt^ondante tracée sur la sur/ace du second degré A et par m le j:^oint de cette courbe qui correspond au point M, le plan normal en M à la courbe C est le plan qui passe par ce point et par- la tangente conjuguée de la tangente menée en m à la coi€rbe c.

3. Pour faire une application de ces propositions très simples, je démontrerai brièvement le beau théorème donné par M. Moutard sur Forthogonalité des surfaces anallagmatiques homofocales. Les surfaces d\in système homofocal peuvent être engendrées au moyen d'une sphère fixe S et des diverses surfaces du second ordre passant par uae anallagmatique sphérique K située sur cette sphère.

Cherchons les surfaces d\in tel système qui passent par un point de l'espace M. Pour cela, menons par ce point un cône isotrope, il coupera la sphère suivant un cercle C, dont le plan Psera le plan associé au point M. Le problème est évidemment ramené à mener par la courbe R une surface du second degré tangente au plan P. Or ce plan devant être tangent à la surface cherchée, doit •a couper suivant deux droites renfermant nécessairement les Quatre points d'intersection de la courbe K avec le cercle C. On aura donc trois solutions, et les trois points de contact correspondant à ces trois solutions seront les trois points de concours des diagonales du quadrilatère formé par les quatre points d'intersection dont je viens de parler. En désignant par /?, q^ r ces trois points d'intersection, il résulte de la première proposition établie

au n°2que les normales aux trois surfaces homofocales passant par le point M sont les droites M/?, M ^, Mr. Mais les trois points/?, q^ r sont les sommets d'un triangle conjugué par rapport au cercle C; les droites M/>, My, Mr forment donc un trièdre conjugué par rapport au cône ajant pour base C et pour sommet le point M, c*est-à-dire par rapport à un cône isotrope, donc elles forment un Irièdre trirectangle.

4. Sur une surface [^anallagmatique il existe dix systèmes de sections circulaires qui ont été découverts par M. Moutard. Leur existence résulte très simplement de la définition donnée au n® 2. Que l'on imagine en effet un plan se mouvant tangenliellement à la surface A, de façon que son point de contact décrive une génératrice g de cette surface; pendant ce mouvement le plan tangent tournera autour de cette génératrice; le lieu des points qui lui sont associés par rapport à la sphère S sera donc un cercle coupant orthogonalement cette sphère. A toutes les génératrices de la surface A du même système que g correspondra un système de sections circulaires de Tanallagmatique; un autre système de sections circulaires correspondra au second système de génératrices rectilignes de la surface A.

Comme Tanallagmatique est susceptible de cinq modes de génération différentes, Ton voit que Ton obtiendra ainsi cinq groupes de sections circulaires, chaque groupe comprenant deux systèmes distincts.

Deux cercles d'un même groupe et de même système ne se rencontrent jamais.

Deux cercles d'un même groupe et de systèmes différents se coupent en deux points et sont par conséquent situés sur une même sphère.

Deux cercles de groupes différents se coupent toujours en un point.

Les sections circulaires d'une anallagmatique jouissent d'un grand nombre de propriétés analogues à celles des génératrices rectilignes des surfaces du second ordre; je me contenterai ici de mentionner la suivante, semblable de tous points à une propriété fondamentale des surfaces du second ordre donnée par M. Chasles :

Etant donnés quatre cercles quelconques d'un même groupe