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^ OéOMÉTRIE.

2. Considérons maintenant une surface du second ordre doni Téquation, en coordonnées rectangulaires, soit'

pour déterminer les pieds des normales ù cette courbe qui passent par le point (a, ^, y) nous adjoindrons à Téquation (i) les équations

ou, en désignant par \ une quantité indéterminée,

en donnant à \ toutes les valeurs possibles, les formules précédentes déterminent les divers points d'une cubique gauche K passant par les six pieds des normales, les paramètres de ces poiols étant d'ailleurs donnés par les racines de Téquation

,:„)* (5^;3 kX — v)'

ou, sous forme entière et en introduisant pour rhomogénéilé quantité r^ égale à Tu ni té,

Le centre de la surface et les trois points à l'infini sur les ai( sont éf-alement situés sur K et leurs paramètres sont respecliv( ment oc, a, 6 et c : ce sont les racines de Téquation

Je vais établir maintenant que le conjugué harmonique de Tu^ quelconque des quatre points déterminés par l'équation W = <•relativement aux trois autres, se confond avec son conjugué haï moniqiie relativement aux six pieds des normales.

Considérons, par exemple, le point A dont le paramètre est a en posant, pour abréger,

V=T,(f — ^»Ï))(C CTJ,

le conjugué harmonique de A relativement aux points (x, b, c) sera déterminé par l'équation

Kf)--(f)=«'

*^ lettre Ç ayant été remplacée par la lettre a dans les dérivées partielles.

D'autre part, le conjugué harmonique du point A relativement ^^x pieds des six normales, sera déterminé par l'équation

^ù, dans les dérivées partielles, on doit également faire $ = a. Il ^st clair, dans cette hypothèse, que Ton peut supprimer dans U *ous les termes qui renferment (ç — ar^) au carré et remplacer U P^rV^; Téq nation précédente devient alors

[Kî)-'(f)]=".

®'> en la comparant à l'équation (2), on en déduit la proposition 9tie je voulais démontrer.

^- Cette proposition peut encore s'énoncer de la façon suivante : "^^^ un point M de l'espace menons des parallèles aux trois

^^ d'une surface du second ordre, puis joignons ce point au

'^^■*^ de la surface, nous obtiendrons ainsi quatre droites (D) : Miroites et les normales que du point M on peut mener à la

*^Cie, seront situées sur un môme cône du second ordre.

^^la posé :

> "^^<3c conjuguée harmonique de l'une quelconque des ** ^^s (D), relativement aux trois autres, se confond avec ^'uguée harmonique relativement aux six normales.