SUR LA DÉVELOPPÉE DE L'ELLIPSE
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1. Lfmmk. ■ - Éliint floruii'rf tinc l'Uipxc E ff/ une pnralml^^'^ P Itt/if^rrilf iiii.r di-uj- ft.res iIp celle ellipse, les nnrmalex mena »^-^*' 'i l*^, nii.r piiinlx ete contact des lonirenlex coittmunex ù ccx 'ie -^^^ ciiurbes. concourent en un même poitu,
['oiir 11- tiémontror, il suffit de reinai-quoi' que la polaire ré^c^"* |irni]uc lU: P rrlativciiiunt à E esl ime hyperbole passant par ■*
ceiidv lie celle conique, par les quatre points de contact et ay^ ■^' «(■4 asymptotes parallèles aux axes de la conique.
2. Soit N une normale à l'ellipse E ; si de cliaqiie point de ce «- * * dri.ite on mène les normales à E difTiircnles de >i. leurs pi£?ï«Js l'ornient un triangle dont les côtés enveloppent une parabole P liinttente aux axex de E.
V.n désignant par O le rentre de la conique, par n le pied àe^ la \ oiniale \ et par «' le point diamétralement opposé à n, je ferrai remarquer que le foyer de la parabole est le pied de la perper>d/. j culairc abaiss<te de 6 sur la tangente au point n'; sa directrice est J la svmélriquc de celle perpendiculaire relativement à l'un que/- | conque de» axe*. Il en résulte que les cercles cîrconscriU aux divers tritngles dont jai parlé plus haut passent tous non «-uie-
r U point n', comme on le sait par un lliéorème de Joa-
* ■ i«r un autre point fixe situé sur I» ttn-
.ale N, qui esl ungeote à la développée it lie nouveau ««"« «^'•"rbe en quatre tuttes t. Considwoo». va'-'^n'P'*' ^^ P"'°^ *' ""^ '^^'
SUR LA DÉVELOPPÉE DE L'ELLIPSE. ^']t
S a le poiat de Tellipsc dont le centre de courbure est en a; X des normales menées du point a à E ont leurs pieds conlus en a; par suite, la tangente en a à Tellipse est tangente à arabole P, et, comme la même chose a lieu pour les points (3, S, il résulte du lemme énoncé plus haut que les normales 3les abaissées des points a, ^3, y et o concourent en un même t.
a d'autres termes :
HÉOREME I. — Si l'on considère une tangente quelconque à développée d'une ellipse et les quatre points oit cette tant^ coupe de nouveau la courbe, les tangentes menées en ces lis concourent en un même point p,
• On peut encore dire que la polaire de chacune des tangentes
développée se décompose en une conique et un point /?.
'Q général, étant donnée une courbe quelconque de quatrième
se, si l'on représente par U = o Téquation du quatrième degré
détermine les directions des tangentes issues du point (a?, y^ z)^
*^r S et T l'invariant quadratique et l'invariant cubique de U,
montré \Sur les singularités des courbes de quatrième
'^€ (^Journal de Mathématiques, 3® série, t. I, p. aôS)] que
points singuliers de la courbe et les points qui, associés à des
'<{ueS) constituent les polaires de droites du plan, satisfaisaient
U'ois conditions
S^néral, le nombre des points satisfaisant à ces trois relations ^mité et égal à 78; dans le cas de la développée de l'ellipse, me Pa remarqué M. Clebsch ( * ), S est un carré parfait, et l'on t poser S = A^, h étant l'équation d'une conique ayant pour imets les points de rebroussement de la développée ; on a aussi = A*+w*, w = o étant l'équation des trois tangentes doubles
') Problem der Normalen fur Curven und Flàchen zweiter Ordnung "•««, t. 62, p, 79).
de la courbe. Les relations précédentes deviennent alors
et Ton voit qu'elles sont satisfaites pour tous les points des deux courbes iV=zo et h=zo. La première équation donne les trois tangentes doubles qui correspondent à Tinfinité de points singuliers que possède la développée considérée comme courbe de quatrième classe et du douzième ordre; la seconde donne le lieu des points /> que j*ai considérés dans le théorème L On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème IL — Le lieu des points p est la conique ayant pour sommet les points de rebroussement de la développée.
4.* Le théorème I résulte aussi immédiatement de ce que S est un carré parfait. J'ai démontré, en eOet [Mémoire sur Inapplication de la théorie des formes binaires à la Géométrie analytique {^Journal de Mathématiques, t. I, 3" série, p. io4)], la proposition suivante :
Etant donnée une courbe de quatrième classe K, une quelconque de ses tangentes est coupée par sa polaire en six points dont deux sont confondus au point de contacty les quatre autres points d^ intersection décrivant, lorsque la tangente se déplace, la courbe du quatrième ordre dont V équation est S=o.
Si S est un carré parfait, les six points d'iiilerseclion de la droite avec sa polaire sont confondus deux à deux en trois points, d'où résulte la décomposition de cette polaire en une conique et un point/?, et l'on peut remarquer que les tangentes menées du point p à cette conique rencontrent la tangente à la courbe de quatrième classe en deux points situés sur le lieu des points p.
D'autres conséquences inléressanles relativement à la développée de l'ellipse se déduiraient facilement de plusieurs propositions générales sur les courbes de quatrième classe que j'ai données dans les Mémoires cités plus haut.
