SUR QUELQUES THÉORÈMES DE JOACHIMSTHAL

Bulletin de la Société mathématique de France; 1876.

1. Joachimsthal termine ainsi (*) une des Notes nombreuses et élégantes qu'il a publiées sur la théorie des normales à une conique :

Je vais indiquer une proposition qui est fondamentale dans cette théorie :

Théorème. — Soient pj y, r trois points d^une conique, tels que les normales en ces points concourent en un même point. Si Von tire, par un sommet S de la conique, trois parallèles à pqy qr^ rp^ le centre de gravité des trois points où ces parailèles rencontrent la courbe est situé sur l^axe qui contient le sommet S.

La proposition précédeiUc, ainsi que beaucoup d'autres dues au même géomètre, peuvent se déduire très simplement des considérations suivantes.

2. Étant donnés une conique K et deux points fixes A et B, dont ]e premier A soit sur la courbe, si Ton imagine les divers cercles qui passent par ces deux points, chacun d^eux rencontre laconique en trois points distincts du point A, et il est clair que le triangle déterminé par ces points enveloppe, lorsque le cercle varie, une parabole.

Réciproquement, si dis^ers triangles j inscrits dans une conique K, sont circonscrits à une parabole, les cercles qui leur sont circonscrits passent par deux points fixes, dont Vun est

( ' ) Sur la construction des normales que Von peut abaisser d'un point donné iur une section conique complètement trouvée (Journal de C relie, t. 48).

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situé sur la conique et dont Vautre, situé en dehors de cette conique, est le foyer de la parabole.

On en déduit immédiatement que :

Si divers triangles, inscrits dans une conique K, sont circonscrits à une parabole :

I** Les centres des cercles circonscrits aux triangles sont situés sur une même droite;

2° Les centres de gravité de ces triangles sont également situés sur une ligne droite,

3. Soient M un point situé sur une conique K et MN la normale en ce point; si de chaque point m de la droite MN on mène des normales à la courbe, les pieds des normales distinctes de MN formeront un triangle dont les côtés enveloppent évidemment une parabole.

On en conclut que les cercles circonscrits à ces triangles passent par un point fixe de la courbe. Soient âr, a' et 6, b' les exlrémîlés des axes de la conique, M' et M" les symétriques du point M relativement à ces axes; si Ton abaisse les normales du point a où MN rencontre aa\ les pieds des normales distincts de M sont a, et' et M'; de même, si Ton abaisse les normales du point /> oùMN coupe bl/, les pieds des normales distincts de M sont b, V et M'', Or il est évident que les cercles circonscrits aux deux triangles aa'M'el bb'W se coupent tous deux sur la courbe, au point (x symétrique de M par rapport au centre.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si, en quatre points d'une conique /?, y, /\ s, les normales concourent en un même point, le cercle circonscrit aux trois points qj r, s passe par le point p' symétrique du point p par rapport au centre de la conique, (Joachimsthal).

On peut remarquer de plus que le centre de gravité du triangle aa'W et le centre de gravité du triangle bb'Mf sont situés sur le diamètre conjugué du diamètre qui passe par le point M, Donc :

Si les normales menées en trois points p^ q, r d^ une conique concourent en un même point yf., le centre de gravité du triangle pqr se trouve sur le diamètre conjugué du diamètre qui passe