UR QUELQUES THÉORÈMES DE JOACHIMSTHAL

par le pied de la quatrième normale que V on peut abaisser du point [X.

4. Il est à remarquer que toutes les propriétés des normales à une même conique sont multiples. Si Ton considère, en eflet, le triangle formé par les deux axes et la droite de Tinfini, chacun des côtés de ce triangle joue le même rôle relativement aux normales. Cela résulte immédiatement de cette propriété très simple : Si Von effectue une transformation homographique de façon qu'aux foyers dune conique correspondent les deux ombilics (*) du plan, les normales à cette conique deviennent après la transformation les normales à la conique transjormée.

En particulier, si Ton prend pour point de départ la proposition de Joachimsthal énoncée plus haut et que Ton peut énoncer ainsi :

Etant donnés sur une conique quatre points p^ q. r, s tels, que les normales concourent en un même point , si Von désigne par p' le point diamétralement opposé à />, les droites rs et qp sont également inclinées sur les axes,

on en déduira immédiatement la proposition suivante qui, sous une autre forme, a été donnée également par Joachimsthal :

Etant donnés sur une conique quatre points pj q^ r, 5, tels que les normales concourent en un même point, si Von désigne par p le symétrique du point p par rapport àVun des axes y les droites rs et qp' rencontrent cet axe en deux points situés à égale distance du centre,

o. En conservant les notations précédentes (3), soit MN la normale menée en un point M d'une coni(|ue K. De chaque point m <le celte droite on peut mener trois normales à la courbe distinctes

(') J'appelle ici ombitics les points imaginaires situés à l'infini et communs à tous les cercles d'un plan; j'appelle de m<>me ombilicale la conique imaginaire située ià l'infioi et commune k toutes les sphères de l'espace.

Les propriétés des normales à une surface du second ordre sont également multiples; si l'on efTectue une transformation l^omographique, de telle sorte qu'à la focale d'une surface du second ordre corresponde l'ombilicale, les normales à la surface ont pour transformées les normales à la surface transformée.

4'6 OÉOMÉTRIE.

de MN ; soient a, 6, c les pieds de ces normales. Par un somtncio de la conique, menons des droites parallèles à 6c, ca^ ab el soîenl respectivement a, p, y les points où ces droites conpentla courbe. En remarquant qu'on ne peut mener à la parabole enveloppée par les côtés du triangle abc qu'une tangente parallèle à une direotion donnée, on verra facilement que le point a détermine les points associés ^ et y; par suite le triangle a^v enveloppe une cami^^^c que Ton voit immédiatement être une parabole. Le centre d^ ff^' vite du triangle a^v décrit par suite une ligne droite; en plsL^anl successivement le point m sur chacun des axes, on voit que, j>ottr chacun des triangles correspondants, le centre de gravité est sbt Taxe passant par le point S.

La proposition de Joachimsthal que j'ai énoncée au comm^^*^^ mcnr de cette Note est donc démontrée.

SUR LES