COURBES UNICURSALES DE TROISIÈME CLASSE

Bulletin de la Société mathématique de France; 1877.

1. Soient A, B et C trois points d'une conique K et un point P pris arbitrairement dans son plan. Par les quatre points A., B, G et P faisons passer une conique arbitraire H et soit Q le quatrième point où celte conique rencontre K.

Cela posé, étant pris un point M arbitrairement sur K, menons la droite MP et joignons au point Q le point I, où MP coupe une seconde fois la conique H. La droite IQ coupe K en un second point a; joignons-le au point M. La droite M a enveloppe, lorsque le point M se déplace sur la conique, une courbe qui est évidemment de la troisième classe. Si, en effet, on mène la droite MQ rencontrant la conique H au point G, puis la droite GP rencontrant la conique K aux points ^ et y, on voit que M^ et My sont encore des tangentes à la courbe cherchée. 11 est clair, d'ailleurs, que l'on a ainsi toutes les tangentes passant par le point M; donc l'enveloppe est de troisième classe. En faisant coïncider successivement M avec chacun des points A, B, C, on reconnaît facilen\ent que l'enveloppe touche en ces points la conique K, les troisièmes tangentes que de chacun d'eux on peut mener à la courbe se rencontrant au point P.

L*enveloppe fait donc partie du faisceau formé par les courbes de troisième classe touchant aux trois points A, B, G la conique K et tangentes aux droites AP, BP et GP ; et il semble d'abord qu'eu faisant varier la conique H on pourra engendrer de la façon que j'ai indiquée toutes les courbes du faisceau.

Pour se convaincre qu'il n'en est pas ainsi, il sufGt de remarquer que l'une des tangentes issues du point M (celle que j'ai désignée

par Ma) se délermine individuellement et que d'ailleurs les points de la conique K se déterminent individuellement; l'enveloppa esl donc la courbe unicursale du faisceau.

Les propriétés les plus simples des coniques montrent en eOcl que, le point M étant fixe, le point a est parfaitement déteriniiné, quelle que soit la conique que Ton fasse passer par les points A, B, C et P.

Par suite, dans la génération des tangentes à l'enveloppa? o" pourra remplacer la conique H par un svstème de deux droites» Le point Q étant, par exemple, le point de rencontre AP avec 1^)^" engendrera les diverses tangentes à la courbe de troisième 0"Ssc en faisant décrire au point I la droite BC.

2. Quelques conséquences intéressantes résultent des cor» ^^^^' rations qui précédent. En effet, des trois tangentes que du f^^^*^ M on peut mener à l'enveloppe, deux (Ma et M^) rencontra ■^ conique K en deux points tels que la corde a^ qui les joinl *"• ^** par le point fixe P.

On peut donc énoncer la propriété suivante :

Si une courbe unicursale de troisième classe est tritan^ à une conique K, les trois tangentes que l^ on peut mènera courbe par un point quelconque de la conique rencontrer^ nouv^eau cette conique en trois points. Un des côtés du tria^^^^^ formé par ces trois points passe par un point fixe.

3, Supposons que la conique K soit un cercle ayant P f> centre; on voit alors que l'angle ^Ma est droit. Donc :

elle de

)ur

Si un cercle est tritangent à une courbe de troisième cl unicursale et si les normales, menées au cercle en ces poir^ sont tangentes à la courbe, deux des tangentes que de chad^^ des points du cercle on peut mènera la courbe font entre ell^^^

se

un angle droit.

La réciproque est également vraie :

Etant donnée une courbe de troisième classe, si un cercle jouit de la propriété que deux tangentes, menées à la courbe

par chacun de ses points, soient à angle droit, la courbe est unicursale; le cercle touche la courbe en trois points et les normales menées au cercle en ces points sont tangentes à la courbe.

Pour le démontrer, je remarquerai d'abord que, ëlant pris un point quelconque M sur le cercle^ comme deux des tangentes, menées à la courbe par ce point, sont liées par une relation particulière, la troisième tangente se détermine individuellement, donc la courbe est unicursale.

En second lieu, Ma désignant la tangente qui passe par le point M et qui se détermine individuellement, il est clair que cette tangente, lorsque le point M se déplace, vient successivement coïncider avec chacune des tangentes à la courbe; autrement la courbe se décomposerait en une conique et un point.

De là résulte que, une tangente quelconque à la courbe de troisième classe rencontrant le cercle en deux points, des deux perpendiculaires menées en ces points à la tangente Tune au moins est tangente à la courbe.

Menons maintenant une tangente commune au cercle et à la courbe ; cette tangente rencontrant le cercle en deux points confondus, d'après ce que je viens de dire, la normale au cercle sera tangente à la courbe. On ne peut, d'ailleurs, par le centre du cercle, mener que trois tangentes à cette courbe; donc les points de contact des tangentes communes se réduisent à trois.

Le cercle est donc tri tangen t à la courbe, et les normales au cercle , en ces points, lui sont également tangentes.

4. Les propositions précédentes se vérifient immédiatement sur les courbes unicursales de troisième classe les plus connues, telles que la cardioïde et V hypocycloïde à trois points de rebroussement. On peut se proposer un problème analogue pour les courbes de quatrième classe :

Trouver toutes les courbes de quatrième classe par lesquelles le lieu des sommets des angles droits circonscrits se décompose en un cercle et une courbe résiduelle.

J'examinerai ce problème dans une prochaine communication.

SUR LA CARDIOÏDE.

Aouvelles Annales de Mathématiques; 1878.

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1. La cardioïde est l'épicycloïde engendrée par un point d cercle mobile qui roule sans clisser sur un cercle de même ravu

C'est une courbe de troisième classe et du quatrième degré (^ ''

ayant, par conséquent, une tangente double et trois points ^ rebroussement; deux de ces points de rebroussement sont I ombilics du plan. Les trois foyers de la courbe se réduisent à seul foyer F, qui est le point de rencontre des tangentes mené^ aux ombilics.

La cardioïde peut donc être définie comme une courbe de tro sième classe, ayant itne tangente double et un foyer singulL de rebroussement,

2. Dans tout ce qui suit, je m'appuierai principalement sur I deux propositions suivantes :

Proposition 1 (^). — Si, par un point quelconque du plan on mène les trois tangentes à une courbe de troisième classe et si C on joint ce point aux trois foyers de la courbe, les deu. faisceaux de droites ainsi obtenus ont même orientation; c'est à-dire que la somme des angles que chacune des droites du premier faisceau fait avec une direction arbitraire est égale^ à un multiple près de tc, à la somme des angles que font, avec cette même direction, les droites du second faisceau.

( ' ) Voir Salmon, Higher plane curues, p. 270.

(') Voir ma Note intitulée: Théorèmes généraux sur les courbes algébriques {^Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, janvier i865).

SUR LA OARDIOTDE. 4^1

oposiTiON II (*). — Si, par un point quelconque M du , on mène les trois tangentes à une courbe de troisième e, le centre harmonique des trois points de contact, relaient au point M, est le même que le centre harmonique des foyers relativement à ce même point. En d'autres es, la polaire du point M, relativement au triangle formé les normales menées à la courbe par les trois points de ict des tangentes, se confond avec la polaire du même r relativement au triangle formé par les droites menées chacun des foyers perpendiculairement à la droite qui le ■ au point M.

Lés fojers de la cardioïde se confondent tous les trois avec ver singulier F de cette courbe. On déduit donc immédiate- .de la proposition I le théorème suivant :

lÉOREME I. — Si d'un point quelconque M on mène les tangentes à la cardioïde, la somme des angles que font Iroites avec la droite MF est égale à un multiple de tz.

I cardioïde a un troisième point de rebroussement réel R, et, rès un théorème très connu, la tangente en R passe par le t F, D'un point quelconque de la droite FR, on peut mener i tangentes à la courbe, dont Tune se confond avec FR. Du rème précédent il résulte que les deux autres tangentes sont ement inclinées sur FR; donc :

% cardioïde est symétrique par rapport à l'axe FR.

La proposition II, appliquée à la cardioïde, donne de même téorème suivant :

aÉORÈME II. — Si d'un point quelconque M on mène les ? tangentes à la cardioïde et les normales aux points de act, le pied de la perpendiculaire, abaissée du point M sur claire relativement au triangle formé par les normales, é foyer de la courbe.

Voir ma Note Sur la détermination du rayon de courbure des lignes îs {Bulletin de la Société pliilomathique, février 1867).