BN X AT = HF X FA = Â

là résulte que la polaire du point T, relativement aux droites a^ ^^'y est la droite NL menée par le point N parallèlement à

La proposition précédente peut, par suite, s'énoncer ainsi : La polaire du point T relativement à la droite A et à la

droite NL (^celte dernière étant considérée comme double) se confond avec la polaire de ce point relativement à FN (cette dernière droite étant considérée comme triple); et de là résulte d'abord que la droite \ passe par le point N.

Pour en déterminer un autre point, menons parle point T une parallèle à l'axe; soient Q (•) le point où cette parallèle rencontre NF, et H le point où elle rencontre A.

D'après ce que j'ai dit ci-dessus, on aura

TQ TU

Menons par le point H une perpendiculaire à FT; en dësignan par F son pied, on voit que les deux triangles FQT et l'HT son semblables et donnent la proportion

rr HT I FT ~ TQ ■" r

IT est dans le tiers de Fï et le point F se confond avec le point I La proposition précédente est donc entièrement démontrée. Elle donne un moyen facile de mener à la cardioïde une tangenfl par un point quelconque de la tangente double, ou encore de li mener une normale par un point quelconque de la droite BB' qu' il est facile de le voir, passe par les deux points de la courbe où I tangente est parallèle à l'axe.

En particulier, on en déduit le théorème suivant :

Théorème III. — Si, par un point quelconque de la cai dioïde, on mène la tangente et la normale à la courbe et z. l'on désigne par T le point où la tangente rencontre la tar^^ gente double AA', par N le point où la normale rencontre ffSÊ^^^^^ droite BB' qui joint les points de la courbe où la tangente c^ : — ^^^ parallèle à Vaxe, les deux points T e/ N sont vus du foyer sir^ - ^'" vant un angle droit.

( • ) Les poinls Q et a', ainsi que la droite a'?', ne se trouvent pas SLr la figure le lecteur est prié d'y suppléer.

SUR LA CARDIOlOE. 4^^

7. Quelques remarques sur ce qui précède ne seront pas inutiles.

Au poinl a la normale rencontre l'axe à Tinfîni et la tangente le rencontre au point A; en désignant, pour un instant, par R' le point de rebroussement de la courbe, on aura donc, eu vertu de la

lalion (i),