A F AU

<J^où AR'= AR. Le point R est donc le point de rebroussement. Si l'on considère l'un des points situés sur la droite BB' et où tangente est horizontale, le point de rencontre de la tangente ^^^ec l'axe est à l'infini et le point de rencontre de la normale est B. En vertu de la relation (i), on aura donc

BR = 3HF, d'où BF = RA=Î^.

Les tangentes que l'on peut mener à la courbe du point T sont, 'une part, la droite TM et, d'autre part, la droite Ta, cetle derière étant comptée deux fois.

En vertu du théorème I, on a donc

iVlTI-+-9.A'fl = inull.7:; a, si l'on pose,

HT! = o et MTH = 0, O-h 3© = r.

Au moyen des équations précédentes, il est facile d'établir un ^[rand nombre de relations entre les cléments de la figure i; je me lornerai à mentionner les suivantes :

TF = TM-+- ABcoso.

8. Le point D étant déterminé par la relation BD = -^9 élevons en ce point une droite DD' perpendiculaire à l'axe; soit K le point où cette perpendiculaire coupe NF. Menons KL perpendiculaire à NF et NL parallèle à l'axe; abaissons enfin, du point de rencontre L de ces deux lignes, une perpendiculaire sur la normale MN.

Je dis ([lie le point y, où elle rencontre cette normale, tU le '■ centre de courbure de la cardioîde au point M.

Soit, en efTel, P le point oii cette droite coupe FT, on démontrera aisément, en s'appuyanlsurlespropositioDS précédentes, que

par suite, le point P décrit, lorsque le point M se déplace surli courbe, une droite perpendiculaire à l'axe et dont le pied esta une distance

En se reportant à ce que j'ai dit plus haut, od voit aiséme"' que la normale NM enveloppe une cardioïdc ajant pour tangenl' double BB' et pour foyer le point F,

Le point de contact de la normale avec l'enveloppe est le pointf; ce qui démontre la proposition énoncée.

Oi( voit aussi que la développée de la cardioîde est une cardioîde semblable à la proposée, le rapport de réduction étant ^> proposition d'ailleurs bien connue.

9. Un autre mode de génération de la cardioîde mérite d'être signalé.

Soient {fig. a) un cercle ayant pour centre F et un point fixe P

pris sur cette courbe. Par le point P roenoDs une sécante quelconque coupant le cercle en M ; par le centre F menons une panl-

HUn LA CARDIOÎDE. 4^7

lèlc à cette sécante rencontrant le cercle aux points A et B, joignons enfin MA. et MB. Ces droites enveloppent, lorsqii^on fait varier la direction de la sécante, une courbe qui est évidemment de troisième classe et unicursale.

Si Ton cherche les tangentes isotropes que, d'après la construction précédente, on peut mener à la courbe, on trouve facilement qu'elles passent par le point F; d'ailleurs la courbe n'est évidemment pas tangente à la droite de Tinfini.

On en conclut que celle courbe est de troisième classe, uni" cursale, et à foyer singulier triple, par conséquent c'est une cardioîde. Quelques propriétés intéressantes se déduisent du mode de génération que je viens d'indiquer.

Il est facile, en premier lieu, de trouver le point de rebroussement de la courbe. Je remar(|uerai, à cet eHet, que si, au point F, on élève une perpendiculaire au rajon FP, la droite HP est une tangente à la courbe et qui la touche au point I déterminé par la relation

Au point 1, menons la normale à la courbe et soit K le point où elle rencontre l'axe, en désignant par R le point de rebroussement de la cardîoïde; on aura, en vertu de la relation (i),

J - JL L VV "^ Tk ^ PH'

d'où l'on déduit