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Considérons, en second lieu, un point quelconque M du cercle; si, par F, on mène une parallèle a MP rencontrant le cercle aux points A et B, deux des tangentes que l'on peut mener du point M à la courbe sont les droites MA et MB.
La troisième tangente s'obtiendrait en menant par le point P une parallèle à MF et en joignant au point M le point C où cette parallèle coupe le cercle.
On voit que les deux tangentes MA et MB sont à angle droit; d^où la proposition suivante :'
Théorème IV. — Si, d'un point quelconque du cercle K pas-
sant par le sommet de la cardiolde et ayant pour centre son foyéry on mène les tangentes à la courbe, deux de ces tangentes sont rectangulaires (').
10. Considérons {fig» 2) les deux points M et G qui sont les extrémités d\ine corde tangente à la cardioïde; on voit immédiatement sur la figure que Tare MH est la moitié de l'arc PC.
La cardioïde peut donc être considérée comme l'enveloppe la corde qui joint deux points mobiles sur un cercle, ces deu points décrivant le cercle dans le même sens et l'un ayant u vitesse double de la vitesse de l'autre.
Supposons que les deux points M et C se soient déplacés infini ment peu et soient venus en M' et C; désignons par T le point d«^ JHEe
rencontre de MC et de M'C. On aura M1VI'= -CC; d'autre part ^^^^m l,
les triangles semblables MM'T et CC'T donnent
A la limite on a
donc :
Mivr MT I ce "■ TC ~ 2
MT = ï^; a
Théorème V. — La corde interceptée par le cercle K sur un tangente quelconque à la cardioïde est partagée par le poin de contact en deux segments dont l'un est le double de l'autre -
11. D'autres propriétés des normales à la cardioïde peuvent étr^ déduites par des considérations entièrement différentes de celles qui précèdent, et en s'appuyant seulement sur la propriété suivante :
La cardioïde ayant un axe de symétrie et ayant pour points de rebroussement les ombilics du plan, tout cercle ayant son centre sur l'axe de symétrie ne rencontre la portion de la courbe située au-dessus de l'axe qu'en deux points distincts des ombilics.
( ' ) Voir à ce sujet ma Note Sur les courbes unicursales de troisième classe, communiquée à ia Société mathématique en noTembre 1877.
SUR LA CARDIOÎDE. 4^9
De là résulte immédiatement la proposition suivante (') :
ni^HÉORÈME VI. — Étant pris deux points fixes quelconques Pl ' B sur la cardioide, soit C un point mobile sur cette courbe; ^ r les milieux des cordes CA. et CB, élevons respectivement ^^''s perpendiculaires à ces cordes et soient \ etV^ les points où ^^perpendiculaires coupent l'axe. Quelle que soit la position ^4 point C sur la courbe, la différence
FÏ "" F K
^meure constante.
Démonstration, — Je supposerai, pour fixer les idées, que les
^nts A, B, ainsi que le point mobile C, sont sur la partie de la
ourbe située au-dessus de Taxe; et, pour plus de clarté, je consi-
^rerai d'abord, au lieu de la cardioïde, une spirique quelconque,
''est-à-dire une courbe du quatrième ordre, ayant un axe de
^métrie et pour points doubles les deux ombilics du plan. Une
pirique, comme on le voit aisément, jouit de la propriété qu^In
ercle ayant son centre sur Taxe de symétrie ne rencontre la courbe
a'en deux points situés au-dessus de Taxe et distincts des om-
ilics.
Cela posé, A et B désignant deux points fixes de la spirique t C un point variable sur cette courbe, par les milieux des cordes et CB élevons des perpendiculaires à ces droites; soient I et K Aes points où ces perpendiculaires coupent respectivement Taxe ^e la spirique.
J*établirai d^abord que les points I et K déterminent sur Taxe, lorsque le point C se déplace, une division homographique.
En effet, le point I étant donné, le point C se trouve au-dessus ^e Taxe et à Tintersection de la courbe avec le cercle décrit du point I comme centre avec lA pour rayon; ce point est donc parfaitement déterminé, puisque ce cercle ne rencontre la courbe an-dessus de Taxe qu'en deux points distincts des ombilics.
(*) Les coDsidéralions qai suivent s'appliquent également aux coniques et aux anallagmatiques du troisième et du quatrième ordre qui ont un axe de symétrie. yoir i ce sujet ma Note Sur les spiriques ( Bulletin de la Société philoma^ thique, Doverobre 1869).
OEOMETniE.
Le point C étant déterminé, le point K l^est également quand ou se donne le point I, et Ton prouverait de même qu à une posUion du point K correspond une position unique du point I; d^où i^ résulte que les points I e^ K déterminent sur l'cuce des divisions hom ograph irj ues .
Cherchons les deux points doubles. Le point C se déplaçant ^^^ une des branches infinies qui passe à un ombilic o) en se rapp^' chant indéfiniment de cet ombilic, le cercle passant par les points et C, et symétrique par rapport à l'axe, a pour centre, à la liiif*^^ ' le point où la tangente en to, à la branche de courbe considé^^^perce Taxe, c'est-à-dire le foyer singulier y correspondant à o^ branche de courbe. Ce point est, par la même raison, le centra cercle limite passant par les points B, C et symétrique parrapf^ à Taxe; /est donc un point double de la division homographicf; Le même raisonnement s'appliquerait à la seconde brauche courbe.
Ainsi, quand on considère une spirique générale, les der points doubles de la division homo graphique, formée par points I et K, sont les foyers singuliers de la courbe.
Dans le cas particulier de la cardioïde, les points double l'infini deviennent des points de rebroussement et les deux fo\ singuliers viennent se réunir au foyer unique F de la courbe, division homographiquc formée par les points I et K a donc de points doubles coïncidents en F; d'où le théorème qu'il fall démontrer.
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12. Supposons que l'on fasse successivement coïncider le poi mobile C avec A et avec B; dans le premier cas, la perpendiculair élevée au milieu de AC se confond avec la normale en A et, dan^ le second, la perpendiculaire élevée au milieu de BC se confond avec la normale en B.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème VIL — Etant donnés deux points quelconques A et B situés sur une cardioïde, menons les normales en ces points et, par le point milieu de la corde AB, une perpendiculaire à cette corde; soient respectivement a, 6, i les points où ces droites rencontrent Vaxe, le point i et le foyer Y de la courbe divisent harmoniquement le segment ab.
8Un LA CARDIOÎDE. /jf)!
l^n effet, en supposant que le point mobile C vienne successive- '^f^ ^nl coïncider avec le point A et le point B et en appliquant le ^« écréme précédent, on a
*'<jù
FI Fa ~ F^ Fl'
•>. I I FI "" Fa Vb'
En particulier, si le point B est un des points où la tangente double touche la cardioïde, le point de rencontre de la normale ^vec Taxe étant à FinHui, on a cette proposition :
Si l'on désigne par a le point où la normale en un point A de la cardioïde rencontre l'axe, et par i le point oii cet axe est rencontré par la droite élevée par le milieu de la corde, qui joint A à Vun des points où la courbe touche la tangente double, et perpendiculairement à cette corde, le point a est le milieu du segment FI.
13. Je m'arrêterai ici dans cette étude des propriétés des normales à la cardioïde. Dans une prochaine Note, je ferai Tapplication des mêmes principes à l'étude de diverses courbes remarquables de la troisième classe et de classes plus élevées.
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LES NORMALES AUX SURFACES DU SECOND ORBfti
\ouvelles Annales de Mathématiques; 1878.
1. Étant donnes une surface du second ordre K ayant pour équation
abc
et un point M avant pour coordonnées a, p, y, on sait que Ton peut de ce point mener six normales à la surface, les pieds de ces normales étant déterminés par les équations
où p est une des racines de l'équation
aa
cy'
Ces six points sont (Failleurs déterminés par rinterseclîon de K avec la cubique gauche H, définie par les équations
xy
•iX OLZ
ZX -4- r= O,
Cela posé, déterminons les quantités Ç, r,, Ç, P, Q, R, X, Y,
^ ^t G, de telle sorte que 1*od ait identiquement \ a b c I
On aura, entre ces dix quantités, les neuf relations
•iZ; -+-«Ç -+-|îr, = — (G-hc);
\ q/' i\ (aZ-Y)S . (2\-«)!;.
et
/ Qy — R? = aaX-4-(G-ha)Ç,
(5) Rx — Py = 2^Y-T-(G-f-^^)r.,
( P? — Qa = 2cZ -h(G-T-r);.
Comme nous disposons de dix quantités indéterminées pour satisfaire à ces neuf relations, on pourra y satisfaire d'une infinité de manières.
Considérons maintenant Téquation (2), elle exprime évidemment que, des six pieds des normales que Ton peut abaisser du point M, quatre sont situés sur la sphère
ar'-+-^'--i-^' — îXx — aY^' — 2Z« -+- G = o
et les deux autres dans le plan
^\ y^i ^ï abc
ml le pôle, par rapport à la surface du second ordre K, a po ^ordonnées ^, 7), Ç; et, comme ces quantités renferment un pa lètre arbitraire, elles sont les coordonnées d*un point qoelcon le la polaire, par rapport à K, de la corde qui joint les pieds d deux dernières normales dont je viens de parler.
