Désignons par S la sphère dont Téquation est

les coordonnées de son centre sont évidemment X, Y, Z et G la puissance de Torigine relativement à cette sphère. Elle contie comme je Tai dit, quatre des pieds des normales que Ton p abaisser du point M. Soient D la corde qui joint les pieds des d autres normales et A sa polaire réciproque par rapport à Diaprés une dénomination généralement adoptée, [A est un relativement à K et aux surfaces du second ordre, qui form avec elles un système homofocal; en d^autres termes, les d* droites D et A sont perpendiculaires entre elles.

De ce que j^ai dit plus haut il résulte que, si l'on considèr /,, ^ comme des coordonnées courantes, la droite A est préciséoM déterminée par les équations (3), ou encore, si Ton pose, [> abréger.

)ar les suivantes

avec la relation

A;-+-a = Br, -h/> = GÇ-+-c = X,

cmt

irl

G H- a$ -+- ^Tj 4- yÇ = — À.

3. Tirons de (7) les valeurs de Ç, r,, Ç et portons-les dans (8 en égalant à zéro le terme constant et le coefficient de X, il vieiid-

(lo)

aa ^b vc

Soient jr, y^ z les coordonnées d'un quelconque des points où D rencontre la surface du second ordre K, le plan tangent en ce point contient A, et son équation est

abc.

tlemplaçant, dans cette équation, i, Trj, JJ par leurs valeurs tirées ^^ ( •^), il vient, en égalant à zéro, le terme constant et le coeffici^nt.de).

^ ^<:]uation (12) est celle du plan diamétral contenant la corde D ; '^ i>^an, déterminé par l'équation (i i), contient le point M en vertu ^^ Isi relation (9); c'est donc le plan qui passe par les deux nor- ™^^l^s dont les pieds sont situés sur D; je le désignerai par P.

« En général, pour abréger le discours, étant donné un plan ï ^* ^ Iconque ayant pour équation

pellerai centre de ce plan le point dont les coordonnées sont

j r et foyer de ce plan le point où se coupent les deux nor-

X es à R qui sont contenues dans ce plan. On voit que le plan P,

t j*ai parlé plus haut, a pour foyer le point M et pour centre

~:5oint m dont les coordonnées sont A, B, C.

a notion de centre dUin plan se présente fréquemment dans théorie des normales aux surfaces du second ordre, el, à ce ^ "^ ^l, je rappellerai une élégante proposition due à Joachimsllial :

ilani donnés, sur une surface du second ordre, trois points "^ 6, c, tels que les normales en ces points concourent en un ^ ^^nie point M, le pâle du plan abc^ relativement à cette sur- <:e, est le centre, relativement aux trois axes de la surface.

du plan qui passe par les pieds des trois autres normales guc l'on peut encore abaisser du point M (*).

5. En adoptant les dénominations qui précèdent, il î^sulie immédiatement des équations (6) que le centre N de la spWr*»^ est le point milieu du segment Mm.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Le centre de la sphère qui contient les pieds de quatrtix^ normales que Von peut abaisser d'un point donnée sur vM surface du second ordre R, est le milieu du segment qui joiiU le point M au centre du plan qui contient les deux autres normales.

6. Pour déterminer complètement la sphère S, dont on peul construire le centre au moyen de la proposition précédente, il suffit de connaître la puissance G de Toriginc relativement à cette sphère, ou bien encore de connaître la sphère S, dont l'équation esl

Cette sphère S peut être facilement déterminée en s'appuyant sur la propriété suivante

Le point M et le pôle du plan P, relatiçement à la surface du second ordre K, sont deux points conjugués relativement à la sphère S, en d'autres termes le plan polaire de chacun d'eux, relativement à S, contient l'autre point.

Pour démontrer cette propriété, je remarque que le pôle du plan P, relativement à K, a pour coordonnées

le plan polaire de ce pôle, relativement à 1', a pour équation

(*) JoACHiMSTHAL, De çuiOusdam œquationibus quarti et sexti gradus quœ in tkcoria lincarum et superficieruni secundi gradus occurrunt {Journal dt C relie, t. 53, p. 17?).

^^ en verUi de la relatian (lo), il contient évidemment le point a, H) y; ce qui démontre la proposition énoncée.

<• La cubique gauche H rencontre la sphère S, d^abord aux Suaire points où les normales concourent en M, puis en deux ^titres points. Je dirai, pour abréger, que la corde qui joint ces ^eux derniers points est la corde supplémentaire de D.

I/examen de l'équation (2) montre immédiatement que la corde supplémentaire est constamment comprise dans le plan

où \j Ti, Ç désignent les coordonnées d'un point quelconque de A. Remplaçons, dans l'équation précédente, ^, Tj, ^ par leurs valeurs tirées de (7), et égalons à zéro le terme constant ainsi que le coefficient de \\ nous aurons les équations suivantes, qui définissent la corde supplémentaire :

L'équation (i4) montre que le plan diamétral passant par la corde supplémentaire est parallèle au plan P. D'où la proposition suivante :

Les six pieds des normales, que l'on peut d^un point M abaisser sur une surface du second ordre, sont, ainsi que le point M et le centre O de la surface, situés sur une même cubique gauche H.

Sif par le point O, on mène un plan parallèle au plan qui contient M et les pieds de deux quelconques des normales, ce plan coupe la cubique en deux autres points. Ces deux points et les pieds des quatre autres normales sont situés sur une m,ém,e spfière.

8. En désignant par ^, y^ K ^^s constantes arbitraires, le pôle du plan