L. — II. 3 i
49^ OÉOMÉTRIE.
relalivemenl à K, est le point (^, y|, 2^), dont le plan polaire, rel^^ .
tivement à S, a pour équation
Il résulte d'ailleurs de ce que j'ai dit plus haut que, si le plan
tourne autour de la corde D, le plan
^Ç -J-^TQ -+- «î -H G = o
tourne autour de la corde supplémentaire.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
La droite A et la corde supplémentaire de D sont polai^ — ^s réciproques, relativement à la sphère S.
9. Comme, dans la théorie des normales à une surface du seco K^^ad ordre, on a souvent à considérer les centres de divers plans ( <? ^^s centres étant déterminés relativement au#axes de la surface), û n'est pas inutile d'entrer dans quelques détails relativement at^ x propriétés de ces points.
En premier lieu, soit, p désignant un paramètre variable,
Téquation d'un plan tournant d'une droite fixe.
Pour trouver le lieu décrit par le centre de ce plan, identifions "^ son équation avec l'équation
il viendra
d-^-pd p d^-pcP d-hpcT
a-^pa b-^po c-hpc
à*où l'on voit que le centre décrit une cubique gauche passant par les sommets du tétraèdre 8 formé par les plans principaux et le plan à l'infini.
D'où les propositions suivantes :
Le lieu des centres des plans, guipassent par une droite fixe.
esi une cubique gauche passant par les sommets du tétraèdre 0 ; et rëciproquement :
Si idne cubique gauche passe par les sommets du tétraèdre 6, les plcinsy dont ses divers points sont les centres, passent par ^inc défaite fixe.
En second lieu, considérons une droite quelconque dont un des )oinls soit déterminé par les équations
^"'dTJd'' ^~ d-hpd' ^'~d-^pd''
plan ayant pour centre ce point a pour équation X y z r
a-î-pa' b -h ?b' c-^ pc' d-^ pd
'^ il est clair que, quand on fait varier p, il enveloppe une cubique Sauolie ayant pour plans osculateurs les plans qui forment les faces ^^ t^lraèdre 0.
*^*où les propositions suivantes :
^s plans, qui ont pour centres les différents points d'une ^*^££e, enveloppent une cubique gauche inscrite dans le té- ^^^^dre 0 ('); et réciproquement
•Se une cubique gauche est inscrite dans le tétraèdre 6, le **^«£ des centres de ses divers plans osculateurs est une ligne ^^oite.
lO. Je m'appuierai maintenant sur le lemme qui suit :
Lemme. — Si les sommets des deux tétraèdres sont situés sur ^ne même cubique gauche, les huit /aces de ces tétraèdres sont tes plans osculateurs d'une autre cubique gauche.
Réciproquement, si les huit faces de deux tétraèdres sont les plans osculateurs d'une même cubique gauche, leurs huit sommets sont situés sur une autre cubique gauche.
(*) J'entend;! par cubique gauc/ie inscrite dans un tétraèdre une cubique ayant pour plaas osculateurs les faces de ce tétraèdre.
5uO GÉOMÉTRIE.
Il suffît évidemment de démontrer la première partie ^ lemme, la seconde proposition étant corrélative delà premf ^^'
Pour la démontrer, je remarque que la cubique, qui conti"^^'^ sommets des deux tétraèdres, étant une courbe unicurs^ puis supposer que les sommets du premier tétraèdre soient minés par les racines d'une équation du quatrième degré f{xy et les sommets du second par les racines d\ine équation de degré F(x) = o.
Cela posé, on voit que les racines de Téquation
où \ désigne un paramètre variable, déterminent sur la cub les sommets d'une suite de tétraèdres, chaque point de la co
èmc
^ique
urbc
ùil
étant d'ailleurs le sommet d'un seul de ces tétraèdres; d'o' ^ résulte que les faces de tous ces tétraèdres enveloppent une cubi< gauche, puisque, par chaque point de la courbe donnée, on peut mener que trois plans osculateurs à l'enveloppe.
En particulier, les faces des deux tétraèdres donnés sont plans osculateurs de celte cubique gauche; la proposition est d démontrée.
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ns
ns
11. Considérons maintenant quatre plans dont les centres soi en ligne droite : d'après ce que j'ai démontré plus haut, les fa du tétraèdre T, déterminé par ces quatre plans, sont les pla osculateurs d'une cubique gauche inscrite dans le téti*aèdre6. lemme procèdent il résulte que les sommets des tétraèdres T et sont situés sur une même cubique gauche et, par suite, les pla ayant pour centres les sommets du tétraèdre ï passent par u même droite.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Si les quatre faces d'un tétraèdre ont leurs centres en lign^- ^ droite, les plans qui ont pour centre les sommets du tétraèdr^^ passent par une même droite.
Et de même :
Si les plans qui ont pour centres les sommets d'un tétraèdre passent par une même droite, les centres des faces de ce tétraèdre sont en ligne droite.
SUR LES NORMALES AUX SURFACES DU SECOND ORDRE. 5oi
12. Si d'un point quelconque M de Tespace on mène les six noirmales à la surface du second ordre K, on sait que le point M ^t les six pieds des normales sont situés sur une même cubique gaiiache passant par les sommets du tétraèdre 6. Désignons par /?|, /'s > pi, • . • , />6 les pieds de ces normales.
Des considérations qui précèdent il résulte immédiatement
-S/ ron forme un tétraèdre ayant pour sommets quatre ^ ^^elconques des sept points M, p^^ /?2j • • • j P^y '^* centres des /«Ctf5 de ce tétraèdre sont en ligne droite.
13. Considérons une droite quelconque E, normale à une surce de second ordre, ayant pour axes les axes de coordonnées Ox^ \y et O^. Le lieu des centres des plans qui passent par E est une Cubique gauche L passant par les sommets du tétraèdre 6. Soit M ^Ki point quelconque pris sur cette normale; par ce point on peut ^^^ener à la surface cinq normales distinctes de E; soient /?!, /?2, f>%<i Pk et/?8 leurs pieds. Désignons par N| le centre de la sphère Cf ui passe par les quatre points p^^ p^, p^ elp^j de même par Nt le Centre de la sphère qui passe par les quatre points /?|, p^^ p^ et/?9, ... ; désignons enfin par mi, m^^ m^j m^ elm^ les centres des plans qui, passant par E, contiennent respectivement les points
f^i^Pt^Pij P* et/>5.
D'après ce que je viens de dire, les cinq points m sont situés sur la cubique gauche L; d^ailleurs, comme je l'ai montré précédemment (n*^ 5), les points N sont respectivement les milieux des segments M /n.
D'où l'on déduit immédiatement les propositions suivantes :
Si d'un point M on mène cinq normales quelconques à une sur/ace du second ordre, ayant pour centre O, les cinq pieds de ces normales peuvent être regardés comme les sommets de cinq tétraèdres; les centres des cinq sphères circonscrites à ces tétraèdres sont situés sur une cubique gauche, passant par le milieu du segment MO et par les points situés à l' infini sur les axes de la sur/ace.
Étant données une droite quelconque E et trois droites rectangulaires Ox^ Oy et Ozy imaginons toutes les surfaces du
5oa oéOMÉTRIB.
second ordre ayant ces droites pour axes et /iorma/c«àE;« d^un point M, pris arbitrairement sur E, on mèneàVunede ces sur/aces quatre normales distinctes de E, le lieu du cef^^^ de la sphère circonscrite au tétraèdre, formé par les pieds de$ normales, est une cubique gauche passant par le milieu du segment MO, et par les trois points à V infini sur les aresO^» Oy et Ow.
Il est à remarquer que, si le poinl M se déplace sur la droUeEr la cubique gauche conserve sa forme, chacun de ces poinls décrivant un segment de droite parallèle à E et égal à la moitié du segment dont le point M s'est déplacé.
14. Je ne développerai pas davantage les conséquences qu'on peut déduire des propositions précédentes, et je terminerai cette Note en établissant quelques formules qui peuvent être utiles dans les recherches sur les normales aux surfaces du second ordre.
Soient p' et o" les deux racines de Téquation (i) qui correspondent aux deux normales dont les pieds sont situés sur la droite D, et soit
En désignant, pour un instant, par p l'une quelconque de ces racines, les coordonnées du pied correspondant sont
aoL 6B CY
et Téquation du plan tangent en ce point est
Ce plan contient la droite A; tirons de (7) les valeurs de Ç, 7), Ç et portons ces valeurs dans Téquation précédente. En égalant à zéro le coefficient de X, on obtiendra la relation
A(a-p) B(6-p) G(c-p) et cette relation devant être satisfaite pour p = p' et p = p', il
SUR LES NORMALES AUX SURFACES DU SECOND ORDRE. 5o3
'^^ni, après quelques réduclions faciles,
F(p) = p«— (G -+- a -+- 6 -4- c)p — abc(~ "^ ^ "^ Tc) '
d'où
et
Puisque p'^ salisfail à Téqualion (i), on a idenlîquement
aoLUa^p')* b^Hb-p')^ o^t(c-^py ^ ^
i'où, en remplaçanl les dénominateurs par leurs valeurs tirées Je (i6) et p' par p,
Celle équation devant être satisfaite pour p = p' et p = p"', on en déduit celte nouvelle expression du polynôme F(p),
ra(6 — c)ïA«(cr — p)«-t-6(c — a)»B«(6 — p)* p. y L -t-c(g — 6)îC«(c-p)»-(a-6)«(6-c)«(c-«)'
a(6 — c)« A«-+- 6(c — cO«.B*-t- c(a — 6)«G«
D^où, en vertu des équations (i6), les relations suivantes qui déterminent les coordonnées a, ^, y du fojer du plan
5o4 GÉOMÉTRIE.
(c — a)(a-~6)[6B«-4-cC« — (6 — c)«] a(6--c)*A«-4-6(c — a)«B«H-c(a — A;*C«'
j j^ (g — 6)(6 — c)[cC«-4-aA« — (c — a)«] ("7) i D - ^(^__c)i^^i^^(c — a)«B«-+-c(a — 6)»C«'
(6 — c)(c — a)[aA«-h6B«— (g — 6)«]
auxquelles on peul joindre la relation
ra(a — 6 — c)(6 — c)«A« ]
