A UNE MÊME SURFACE

Nouvelles Annales de Mathématiques; 1878.

\. Je renverrai, pour toutes les notations dont je me servirai îcî, à ma Note Sur les formules fondamentales de la théorie des surfaces (*).

Par chaque point M d^une surface S menons une droite m, dont la position soit définie par Tangle 0 qu'elle fait avec la normale MTj à la surface el Tangle <p que fait avec la direction ilfX sa projeciion sur le plan tangent.

Les cosinus des angles que font, avec les axes coordonnés, les trois directions J/X, MX et MTj^ étant respectivement

ces a, cosp, cosY, cos^, cosr^, cos^,

COSX, COS{JL, cosv,

les cosinus des angles que fera avec les axes la droite m seront respec ti vemen t

cosa sin6 cosçp + cos^ sinO sinç + cosX cos6, cos^sinO COS9+ cosT) sinO sin9 + cos[xcosO, cosYsinOcostp H-cosÇ sinOsintp -H cosv cosO;

et, pour que les diverses droites m soient normales à une même

( * ) Nouvelles Annales de Mathématiques , a* série, t. XI, p. 60.

5o6 OÉOMÉTRIB.

surface, il sera nécessaire el suffisant que l'expression Zdx{cosa sinO cosf + cos^ sinO sinç + cosX cosQ)

soîl une difTérenlielIe exacte.

On a

dx = E{iu cosa -^G dv cos Ç,

djr == Edu cos ^-^ Gdv cosij,

dz = E rfa cos Y -h Gdv cos Ç ;

substituant ces valeurs dans Pexpression précédcnle, elle donne

E sinO cosff, du -f- G sinOsinç.cfi';

et, pour qu^elle soit une diflTérentielle exacte, il est nécessaire et suffisant que Ton ait

(i) -7-(E sinO costp) = -T-(G sin6 sinîp).

2. L'équation précédente ne renferme que les quantités E et G, dont Texpression ne change pas quand on déforme la surface S.

D'où la conséquence suivante :

Concevons que chaque rayon m conserve une position fixe par rapport au plan tangent en if/, c'est-à-dire que sa projection sur ce plan tangent et l'angle qu'il fait avec ce plan demeurent invariables; cela posé, si les rayons émanant des divers points de S sont normaux à une même surface et si l'on dé/orme S de façon que l'élément d'une courbe quelconque tracée sur dette surface concerne la même valeur, chaque plan tangent à la sur j ace entraînant avec lui le rayon correspondant, les divers rayons dans leur nouvelle position sont encore normaux à une même surface.

3. L'équation (i) étant satisfaite pour certaines valeurs des fonctions cp et 6, elle est encore évidemment satisfaite quand on y remplace sinO par /rsinO, k désignant une constante arbitraire.

D'où ce beau théorème dû à Dupin :

Si des rayons normaux à une même surface se réfractent sur une surface S, ils sont encore, après leur réfraction, nor^ maux à une même surface.