SUR LES SYSTEMES DE DROITES QUI SONT NORMALES A UNE MÊME SURFACE

4. Chaque rayon m se projette sur le plan tangent en M^ sui- Tant une droite faisant avec la droite il/X un angle égal à ^ . Toutes ces projections enveloppent des courbes que Ton peut, pour abréger, appeler la projection du système de rayons sur la surface. La fonction cp étant connue, on obtiendra Téquation diflféreiitielle de cette projection en posant o = / ; d^où

Ea remplaçant cp par /dans Téquation (i), il vient

-T (EsinO cosi) = -7-(G sinôsin t), dv ^ dv

OU encore

-r-(EsinO)cos< 5— (G sinO)sin{ — E sinOsini ^ GsinOcosi-î- = o,

av^ ' du dv du

OU, en remplaçant respectivement cos/ et sini par leurs valeurs,

Y. du Gdv

ds ds

^ ( E sîn e ) E rftt — -^ ( G sin e ) G É^t» — EG sin e rfi = o, dv^ ^ du

OU encore

éif sinO 77- -r-(EsinO)-4- -rr -r-(Gsin6) = o.

a dv ^ E du^ '

Si 0 est constant, on peut, dans la relation précédente, supprimer le facteur commun sinO, et, en remplaçant respectivement

-3- et -T— par leurs valeurs — GM et EN, elle devient dv du ^ '

e/i -4- M É^a -H N cff = o ;

ce qui est précisément l'équation des lignes géodésiques. D'où la proposition suivante :

Si des rayons émanant de chacun des points d*une surface S sont normaux à une même surface, et si chacun d^ eux fait un angle constant avec le plan langent au point de S dont il émane, la projection du système de rayons sur S est un système de lignes géodésiques de celte dernière surface.

5o8 OéOMRTRIE.

5. La réciproque de celle proposition est également vraie. G)nsidérons sur S un svslème de lignes géodésiques, nous choisiroDS les axes des u el des v^ de telle sorle que ces lignes géodésiques soient définies par Téquation v = consl. Cela posé, cherchons les syslèmes de rayons normaux à une même surface et ayant pour projection le système considéré de lignes géodésiques. Dans ce cas, on peut poser E== i et G = F(«i), et l'angle désigné par o est égal à zéro, Téqualion (i) devient alors

, . rfsinO

(2) -sr=«-

Celte équation élant identiquement satisfaite quand on fail 0 = const., la réciproque de la proposition énoncée est démonlrée. En particulier, si l'on fail 0 = o, on obtient ce théorème bien connu :

Si Con considère un système de lignes géodésiques tracées sur une sur/ace, les tangentes aux différents points de ces lignes sont normales à une même sur/ace.

6. On satisfait également à Téquation (2) en prenant pour 9 une fonction arbitraire de u.

On peut donc énoncer la proposilion suivante :

Étant donnés un système de lignes géodésiques tracées sur une surface et les trajectoires orthogonales de ces lignes, si par chaque point M d'une de ces lignes on mène une droite située dans le plan tangent à cette ligne en M et normal à la surface, V angle de cette droite avec le plan tangent étant constant le long d'une même trajectoire orthogonale, mais variant du reste d'une façon arbitraire quand on passe de l'une de ces trajectoires à une autre, toutes ces droites sont normales à une même surface.

Journal de Mathématiques pures et appliquées; 1878.

1. Soît une courbe de troisième classe ^5 = K®, représenlée par Téqualion tangentîelle F(tt, v^ w)z=.o\ si Ton pose

Véqualion U(X, [jl) = o est Téqnalion mixte de la courbe.

En posant U — (a, 6, c, rf),je prendrai, pour forme canonique de U, l'expression réduite aX'-+-ûf[A'; de plus, je représenterai par (A, B, C) le hessien H de U, en sorte que Ton aura

A = ac — 6', aB=a<i — bc^ C = bd — c*.

La courbe JR^ est une courbe du sixième ordre K®, dont TéqualioD cartésienne s'obtient en égalant à zéro le discriminant A de la forme U. En adoptant les notations de mon Mémoire sur V application de la théorie des formes binaires à la Géométrie analytique (*), je représenterai par 0 le contrevariant de F, qui, égalé à zéro, donne l'équation de la cayleyenne G^ de &^,