En désignant respectivement par

*n=(a, p, y) = ^ et jjs = \q — \ip = o

Téquation mixlc de la conique polaire de la droite de l'infini et l'équation mixte du pôle de celte droite relativement à ^^, les formules (6) et (1 1) du Mémoire déjà cité donnent immédiatement,

V) Journal de Mathématiques, 3" série, t. 1. Les renvois à ce Mémoire sont indiqués par la désignation (F. B ).

5lO GÉOMÉTRIE.

«n posant

le svslème de formules suivant :

Ax = fl A| -f- 6 A j — 2 A B, A^ = 6A|-^- rAs — 2Be, Av = cAi -+- illi — 2 08;

OU, SOUS forme canonique,

<i) Aa = aAt, A^= — ar/H, Ay = i/A„

puis

i da db de , ^* ^ ^ i

15?""**' Th^'-^'^' d^-"^^' "SF"""^^'

i 6^a db , de d*d

i rfa </3 </y

; dx di d-r

J'y joindrai encore les formules suivantes, que Ton déduil facilement des précédentes, et que j'écris sous forme canonique, en y

faisant 6 et c é<;aiix à zéro :

dK „

dx- ■'"?'

dn ,

dC

dy = " ''

■l-r- — ian dy

On en déduit Texpression de p cl de 7, en parlant de Tidenlitë

e = AY-h2B3-4-Ca, (F. B. n"18)

qui, dérivée successivement par rapport à x et y, donne les deux relations

.{5) .50,= adp-ha^^—dTL^, 3ej — — ac/y H-^at— a^Y-

(^) En géncrui, Z désignant une fonction de x et de y du degré /i, je poserai

I dA 1 d'A

' /i d}' ' n dx

SUR LES COURBES DE TROISIEME CLASSE. 5fl

3. En représenlant par W(a, [jl) = o Féquation mixle de la hessienne ^ de la courbe, on a, sons forme canonique (F\ E. n^9)y

aX o aX -f-*PfJi

\V = o r/[x ^X + Yfi

aX -+- Pfi pX -+- Yfi X çr — yip W = €ufk[K{'kq — iip) — dii{oLk-h PfJi)«— aX( PX -h Yfi)«,

OU, en développant le second membre et en remplaçant p et q par leurs valeurs déduites des équations (5),

W =— 3(Xe,-H fiei) Xfi — 3XfjiP((iYX -4- daii) — p«(«>^'^Fi');

ou encore, en multipliant les deux membres par a^e/^= A, et en remplaçant a, ^, y par leurs valeurs,

d*où, enGn, en passant de la forme canonique à la forme générale, AW =6H(X, ^)(eA.-Ae,)(AX^B^)^(eA,-Ae.)(BX^C^,) ^^^^^ ^^^

Pour abréger, je poserai .

(6) -îA(Xjr-.fi<) = (eA,- Ae,)(AXH-Bfx)H-(eA«— Ae,)(BX-f-Cfji),

où JT et tp désignent des polynômes du cinquième degré en x et^, et Téquation mixte de la hessienne sera donnée par la formule suivante :

(7) AW(X, II) = H(X, Hi)(X^ - iiJ) - e«U(X, II).