L. - II

Sl4 GÉOMÉTRIE.

8. Imaginons qu'une droite se meuve tangentiellemeftl ^ ^^ courbe Mp] le lieu des intersections de cetle droite avec sa conique polaire relativement à A^ s'obtient en éliminant Xel^ entre l'équation mixte de jftp et l'équation H(k^ ji) = o(F.B., n**)> ou bien, en vertu de l'équation (lo), en éliminante el pi entre les

équations

n(X, |x) = o et ^-U(X, îx)=o.

Le résultat de l'élimination est évidemment

A 6pe«= o.

D'où la proposition suivante :

Si une droite se meut tangentiellement à une courba "^ faisceau (/Sp), l(' lieu des points où elle rencontre sa con^^^^ polaire, relativement à ^', est la courbe correspondant^ ^^ faisceau (Kp).

9. Soit un point M ayant pour coordonnées x et^', et sitiK^ ^^ la courbe Kp,* comme Ton a

A — 6cH* = o,

tangentes menées de ce pointa la courbe jftp sont déterminés f

H résulte de Téquation (lo) que les coefficients angulaires l'équation

H(X, (i)(X^i-iJijr) = o. -

D'où ce théorème :

Les trois tangentes que, d'un point de la courbe ^, on pé^ ^ mènera la courbe correspondante du faisceau (jftp), se c^ fondent a\'ec l'axe et les hessiennes de ce point relatif ment à A^,

10. Considérons une courbe quelconque du faisceau (jfip) ; un tangente à celte courbe rencontre la courbe correspondante d^^ faisceau (Kp) en six points, dont deux sont situés sur la conique polaire de la tangente, relativement à &^ (u^ 8). On sait, d'ailleurS; en vertu de la proposition précédente, que, par chacun de ces six points, la tangente considérée est un axe ou une hessienne de ce

SUR LES COURBES DE TROISIÈMK CLASSE. 5l5

rlrelaliTement à JR^, Il esl clair qu'elle esl une hessienne pour ieox points situés sur la conique polaire, et seulement pour points; elle est donc un axe pour les quatre autres. D'où les iéquences suivantes :

cute tangente à une courbe du faisceau (jRp) rencontre ta **be correspondante du.faisceau (Kp) en six points; deux de joints sont situés sur la conique polaire de la tangente^ reventent à A^, Chacun des quatre autres jouit de la proté que son axe, relativement à ^', se confond a^^ec la tante considérée ( * ).

^enveloppe des axes, relativement à ^', des divers points ne courbe quelconque du faisceau (Kp), est la courbe cormondante du faisceau (^p).