L'équation mixte de la polaire de la droite
(I) = 1/ â? -4- Vjr -i- WZ = o
est
Supposons, comme ci-dessus, que la droite considérée soi t* polaire, relativement à K®, du point dont les coordonnées son t^ "^^ ir|, t^. Les coefficients angulaires des tangentes menées de ce po*^ •■ à la conique polaire de la droite sont déterminés par Téquat^î ' précédente quand on y fait x = ^ oAy = y\. Les fonctions f et- " devenant alors identiquement nulles, l'équation se réduit- H(X,îx) = o.
Donc :
Etant donné un point quelconque M du plan, si Von corm^ dère la droite polaire de ce point, relativement à la courbe puis la conique polaire de cette droite, relativement à courbe &^^ les tangentes menées du point M à cette coniq^^ sont les hessiennes du point M, relativement à A* (*).
13. Soit M un point du plan ayant pour coordonnées x et Supposons ce point place sur la hessienne de A^ ; on a alors 0 =
( ' ) Il est à peine nécessaire de rappeler que A' et K* désignent la même court:^
1 1 première notalion étant employée quand on considère cette courbe com étaut de iruisicme classe, et la seconde quand on la considère comme étant sixième degré.
SUR LES COURBES DE TROISIEME CLASSE. SfJ
is coeflicienU angulaires des tangentes, menées du point M à >nique polaire de la droite (o := o, sont déterminés par les ras de Téq nation
est facile d*interprétcr géométriquement ce résultat. Désiis, pour un instant, par ^, y), ^ les coordonnées courantes, et
lalion de la droite qui joint le point M au point où sa droite îre, relativement à K**, rencontre la droite (o = o. ^coenicient A: se déterminera en exprimant que les trois droites
A-J H-Yj — Ç(^-+- A:ap) = o,
^di-^'^dp-^^di^''^
a{ H- pYj -h tvÇ = o
)upent en un même point.
Q calcul facile donne
(0— GvA
dy
Téquation (i4) résulte immédiatement la conséquence sui-
'ant donnée une droite quelconque D du plan, et étant pris \rairement un point M sur la cayleyenne de la courbe /ô', jnons par m le point où la droite D est rencontrée par la 'e polaire du point M, relativement à ¥J, Cela posé, les • tangentes, que Von peut du point M mener à la conique •re de D, relativement à /ft', sont les deux droites qui ituent la conique polaire de la droite Mm, relativement trois tangentes que l'on peut mener du point M à la bejRK
. Les coniques polaires, relativement à >ô', des diverses es qui passent par un point donné M du plan, sont inscrites
dans ira quadrilatère doot les côtés ont poar pôle M. Soient Ç, Tj, p les coordonnées du point M; il est facile d'obtenir en coordonnées cartésiennes Téquation des côtés de ce quadrilatère.
Considérons, en effet, les deux droites x — Ç = oet^ — r, =o, qui se croisent au point M; relativement à la première droite, on aura, en posant, pour abréger, x — $ = X eX, y — 7j = Y, cû = X, 11=: I, t; = o, et, par suite, r=XA| et l) = A4-XAs. Relativement à la seconde, on aura eu = Y, a = o, t' = i et, par suite,
r = — AYA, et 9 = YA,;
je désignerai ces deux dernières expressions par t et xf.
Cela posé, les équations mixtes des coniques polaires des droites X = o et Y = o sont respectivement
^Âi ^=o ^' ^, ^ = «-
Si Ton représente par T le résultant de ces deux équations, il est clair que T = o est l'équation des quatre tangentes communes aux polaires des diverses droites qui se croisent au point M. Une formule bien connue donne
A^ T = a» rf« ( f o' -+- Vf'— a ad%^ XY )«
— 4(a^r9 — Ae»X«)(ac^r'9'— Ae«Y«)
= a«</*(ro'--pr')«-h4Ae«a€/(Yf — Xr'XYç — Xç').
En remplaçant r, Q, r' et t)' par leurs valeurs données ci-dessus, un calcul facile donne
Yp — Xr'=:XA et Yç — X9'=YA. Il vient donc définitivement
ÎÎJ. On peut donc remarquer que Téquation
,d\ dl ^ d\
^d^-^'^dP^^Tz^'' r^^pfi^fMsnte la polaire P du point M^ relativement à la courbe K*.
BtTR LES COURBES DE TROISIKMR CLASSE. Sig
*^^ Véquation (i5) résulte que les quatre tangentes communes aux ^^^^îques polaires des droites qui se croisent au point M ren- ^^*^trent la cayleyenne de A^ aux points où cette courbe ren- ^^^tre P, les neuf points de rebroussement de A^ ëtant exceptés, s points de rencontre sont évidemment, d'ailleurs, au nombre - six, et chacun d'eux doit être compté deux fois, ^n peut donc énoncer la proposition suivante :
Les tangentes communes aux coniques polaires des diverses
^oites qui se croisent en un point M forment un quadr itère
nt les six sommets sont situés à la fois sur la cayleyenne et
r la première polaire du point M, relativement à la courbe K** .
16. Si l'on considère x^ y eX. z comme des quantités données, ordonnées d'un point N du plan, et ^, y) et 2^ comme des coor- ^>nnées variables, il est clair que l'équation
présente le lieu des pôles, relativement à A', des droites que ^n peut mener par le point N. On voit que ce lieu est une coique; l'équation H(X, Y) = o représente les hessiennes du oint N. Donc :
Le lieu des pôles relativement à &^ des droites qui passent ar un point donné N est une conique tangente aux deux
ssiennes du point N, et la corde de contact est la polaire du oint N, relativement à K*.
Si le point N est sur la ca^rleyenne, 6 = o, et l'équation précéente se réduit à son premier terme. Donc :
Le lieu des pôles relativement à &^ des droites qui passent ar un point donné de la cayleyenne de cette courbe est la ire de ce point relativement à K*.
