ERXINATION DES AXES DE L'INDICATRIGE ET DES RAYONS DE COURBURE

désigne une racine quelconque de Téqualion

(a-+-p)* (6-hp)* (c-^p)* 'on peut mettre sous la forme suivante :

ue par hypothèse, le point (^O) ^O) ^o) est un des centres de ure principaux de la surface au point M, l'équation précéen p doit avoir une racine double égale à X; cette équation n effet, en vertu de la relation (i), identiquement satisfaite I on y fait p=X; mais, de plus, la dérivée doit encore Liler pour cette valeur; d'où l'équation suivante

-4- T-r-r-^ — > H — rr = O,

a(a-+-X) b(à-^'k) c(c?-hX)

onne les valeurs de X, déterminant les deux centres de courprincipaux au point M.

Les pieds des normales abaissées du point (xq, y^. z^") sur rface se trouvent sur la cubique gauche déterminée par les ions

plions la première Je ces équations par^oj I& deuxième par Xq troisième par j^o> il viendra

Jon du cône ayant pour sommet le centre de la surface et inant les pieds des normales.

est cinîr que le plan langent à ce cône au point ($, y|, ÎJ) est an passant par le centre de la surface et Taxe de l'indicatrice )int M, qui correspond au centre de courbure considéré.

533 OEOXKTRIE.

L'équation de ce plan tangent est

011, en remplaçant Xq, y^ et z^ par leurs valeurs et faisant quelques réductions faciles,

3. Soient X' et X" les deux racines de Inéquation (a), elles correspondent aux deux axes de Tindicatrice et aux deux centres de courbure principaux corrélatifs.

De ce que je viens de dire il résulte que le plan passant par le centre de la surface etTun des axes de Tindicatrice a pour équation

Considérons le centre de courbure principal N correspondant à Taiitre axe de Tindicatrice; les coordonnées sont données par les formules

Soient A, B, C les points où la normale MM rencontre respectivement les plans principaux delà surface Oyz^ Ozx et Oxy. Les coordonnées du point C sont

Par ce point menons un plan perpendiculaire à la normale et prenons son intersection avec la droite menée, par le point N, parallèlement à Taxe des z. En désignant par QI ce point, un calcul facile montre que ses coordonnées ont pour valeurs

où j'ai posé, pour abréger,

DETERMINATION DES AXES DE L'INMCATRICE ET DES RAYONS DE COURBURE. Sa3

Menons de même, par le poinlB, un plan perpendiculaire à M N et désignons par B' le point où ce plan rencontre la droite menée par F parallèlement à Taxe des j^; ses coordonnées seront données par les formules

Désignons enfin par â' le point où la droite menée par le point N, parallèlement à Taxe desx, rencontre le plan mené par A perpen-

diculaîrement à MN.

Le plan, passant par le centre O de la surface et les points B' et G 9 a pour équation

ou, en effectuant les calculs,

Celle équation étant symétrique par rapport aux lettres x^ y et z, on en conclut que le plan OB'C passe par le point A'. Ainsi, les trois points K\ YV et C sont situés dans un même plan passant par le centre de la surface.

Je dis maintenant que ce plan passe par Taxe de l'indicatrice au point M, qui correspond au centre de courbure principal distinct de N.

L'équation (2) donne en effet l'identité suivante

I! (6 -+- X)(c H- X)-f-^(c-4-X)(a -+- X)-h ^(a -+- X)(6-f-X) = (X- V)(X — X'), d*où, en faisant Xr= — a,

a(« + X') = - l!l^^=iil*^i£>i£ziiL\

el (le même

(6-hX')(c — a)

Portons CCS valeurs dans l'équation (5), il viendra

T(a^y)(b^c) y(bA-V)(C'-a) ^fc -f- V)(a-A) r h • 1 = o:

c'est précisément, comme on le voit par la relation (4)i réqtialioD du plan passant par le centre de la surface et Taxe de rindlcatrice conjugué au centre principal de courbure distinct de N. La proposition est donc démontrée.